题目内容
已知等差数列数﹛an﹜的前n项和为Sn，等比数列﹛bn﹜的各项均为正数，公比是q，且满足：a1=3，b1=1，b2+S2=12，S2=b2q．
（Ⅰ）求an与bn；
（Ⅱ）设cn=3bn-λ•2
（λ∈R），若﹛cn﹜满足：cn+1＞cn对任意的n∈N°恒成立，求λ的取值范围．
（Ⅰ）求an与bn；
（Ⅱ）设cn=3bn-λ•2
| an | 3 |
分析：（Ⅰ）由题目给出的已知条件b2+S2=12，S2=b2q，列关于等差数列的第二项及等比数列的公比的二元方程组，求出等差数列的第二项及等比数列的公比，则an与bn可求；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的an与bn代入cn=3bn-λ•2
（λ∈R），整理后把cn+1＞cn转化为含有λ和n的表达式，分离参数后利用函数的单调性求函数的最小值，从而求出λ的取值范围．
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的an与bn代入cn=3bn-λ•2
| an |
| 3 |
解答：解：（Ⅰ）由S2=a1+a2=3+a2，b2=b1q=q，且b2+S2=12，S2=b2q．
∴
，消去a2得：q2+q-12=0，解得q=3或q=-4（舍），
∴a2=q2-3=32-3=6，则d=a2-a1=6-3=3，
从而an=a1+（n-1）d=3+3（n-1）=3n，
bn=b1qn-1=3n-1；
（Ⅱ）∵an=3n，bn=3n-1，∴cn=3bn-λ•2
=3n-λ2n．
∵cn+1＞cn对任意的n∈N*恒成立，即：3n+1-λ•3n+1＞3n-λ•2n恒成立，
整理得：λ•2n＜2•3n对任意的n∈N*恒成立，
即：λ＜2•(
)n对任意的n∈N*恒成立．
∵y=2•(
)x在区间[1，+∞）上单调递增，∴ymin=2•
=3，
∴λ＜3．
∴λ的取值范围为（-∞，3）．
∴
|
∴a2=q2-3=32-3=6，则d=a2-a1=6-3=3，
从而an=a1+（n-1）d=3+3（n-1）=3n，
bn=b1qn-1=3n-1；
（Ⅱ）∵an=3n，bn=3n-1，∴cn=3bn-λ•2
| an |
| 3 |
∵cn+1＞cn对任意的n∈N*恒成立，即：3n+1-λ•3n+1＞3n-λ•2n恒成立，
整理得：λ•2n＜2•3n对任意的n∈N*恒成立，
即：λ＜2•(
| 3 |
| 2 |
∵y=2•(
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
∴λ＜3．
∴λ的取值范围为（-∞，3）．
点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了利用分离变量法求参数的范围问题，借助于函数单调性求函数的最小值是解答此题的关键，此题是中档题．
练习册系列答案
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（λ∈R），若﹛cn﹜满足：cn+1＞cn对任意的n∈N°恒成立，求λ的取值范围．