Question

【题目】如图，菱ABCD与四边形BDEF相交于BD，∠ABC=120°，BF⊥平面ABCD，DE∥BF，BF=2DE，AF⊥FC，M为CF的中点，AC∩BD=G．
（I）求证：GM∥平面CDE；
（II）求直线AM与平面ACE成角的正弦值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）取BC的中点N，连接GN，GM，MN．

因为G为菱形对角线的交点，所以G为AC中点，

又N为BC中点，所以GN∥CD，

又因为M，N分别为FC，BC的中点，

所以MN∥FB，又因为DE∥BF，

所以DE∥MN，

又MN∩GN=N，

所以平面GMN∥平面CDE，

又GM平面GMN，

所以GM∥平面CDE．

（Ⅱ）连接GF，设菱形的边长AB=2，则由∠ABC=120°，得 ，

又因为AF⊥FC，所以 ，

则在直角三角形GBF中， ，所以 ，

以G为坐标原点，分别以GA，GD所在直线为x轴，y轴，建立空间直角坐标系G﹣xyz，

则 ，

则 ，

设 为平面ACE的一个法向量，则 即 ，

令 ，得 ，

又 ，所以 = = = ，

所以直线AM与平面ACE所成角的正弦值为 ．

【解析】（I）取BC的中点N，连接GN，GM，MN．由MN∥BF∥DE，GN∥CD可得平面GMN∥平面CDE，故而GM∥平面CDE；（II）以G为原点，建立空间坐标系，求出平面ACE的法向量 和 的坐标，计算 和 的夹角即可得出结论．
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定和空间角的异面直线所成的角，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则即可以解答此题．