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选修4-5:不等式选讲
已知关于x的不等式|ax-2|+|ax-a|≥2(a>0).
(1)当a=1时,求此不等式的解集;
(2)若此不等式的解集为R,求实数a的取值范围.
分析:(1)当a=1时,关于x的不等式即|x-2|+|x-1|≥2.而由绝对值的意义可得,
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到1和2对应点的距离之和正好等于2,由此可得不等式的解集.
(2)由于|ax-2|+|ax-a|≥|a+2|,不等式的解集为R,等价于|a+2|≥2,由此求得a的范围.再根据a>0,进一步确定a的范围.
解答:解:(1)当a=1时,关于x的不等式|ax-2|+|ax-a|≥2(a>0),即|x-2|+|x-1|≥2.
而由绝对值的意义可得|x-2|+|x-1|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和,
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到1和2对应点的距离之和正好等于2,
故不等式的解集为{x|x≥
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,或 x≤
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}.
(2)由于不等式|ax-2|+|ax-a|≥|(ax+2)-(ax-a)|=|a+2|,
不等式|ax-2|+|ax-a|≥2(a>0)的解集为R,等价于|a+2|≥2,
即 a+2≥2,或 a+2≤-2,解得 a≥0,或 a≤-4.
再根据a>0,可得 a>0,即a的范围为(0,+∞).
点评:本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,体现了转化的数学思想,属于中档题.
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