Question

已知向量

m

=（1，cos⊙x），

n

=（sin⊙x，

3

）（⊙＞o），函数f（x）=

m

•

n

的图象上一个最高点的坐标为（

π

12

，2），与之相邻的一个最低点的坐标（

7π

12

，-2）．
（1）求f（x）的解析式．
（2）在△ABC中，a，b，c是角A，B，C所对的边，且满足a²+c²=b²-ac，求角B的大小以及f（A）取值范围．

Answer 1

分析：（1）用数量积求f（x），图象上的最高点与之相邻的最低点之间的距离为半个周期，用三角函数的周期公式求解析式．
（2）用三角形中的余弦定理求角A，进一步求得f（A）取值范围．

解答：解：（1）依题意可知：函数y=f（x）最小正周期是T=2(

7π

12

-

π

12

)=π
又∵f(x)=sinωx+

3

cosωx=2sin(ωx+

π

3

)
ω=

2π

T

=2
∴f(x)=2sin(2x+

π

3

)
（2）由a²+c²=b²-ac得a²+c²-b²=-ac
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=-

1

2

又0＜B＜π
∴B=

2π

3

∴0＜A＜

π

3

π

3

＜2A+

π

3

＜π
∴0＜f(A)=2sin(2A+

π

3

)≤2，
∴f（A）的取值范围是（0，2]
答：f（x）的解析式为f(x)=2sin(2x+

π

3

)；角B的大小为

2π

3

；f（A）取值范围是（0，2]

点评：考查向量的数量积、三角函数的周期公式、三角形的余弦定理．