题目内容
设函数f(x)=
•
，其中向量
=(1，cos2x)，
=(1+sin2x，
)，x∈R，
（1）求函数f（x）的单调递减区间及对称轴方程；
（2）求使f（x）≥0成立的x的取值范围．
| a |
| b |
| a |
| b |
| 3 |
（1）求函数f（x）的单调递减区间及对称轴方程；
（2）求使f（x）≥0成立的x的取值范围．
分析：（1）根据向量数量积公式与三角恒等变换公式，化简得f(x)=
•
=2sin（2x+
）+1，再由正弦函数的单调区间公式与对称轴方程的公式加以计算，可得f（x）的单调递减区间及对称轴方程；
（2）由（1）求出的f（x）的表达式，解不等式f（x）≥0得sin（2x+
）≥-
，再利用正弦函数的图象，可得-
+2kπ≤2x+
≤
+2kπ（k∈Z），即可解出使f（x）≥0成立的x的取值范围．
| a |
| b |
| π |
| 3 |
（2）由（1）求出的f（x）的表达式，解不等式f（x）≥0得sin（2x+
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 7π |
| 6 |
解答：解：（1）∵
=(1，cos2x)，
=(1+sin2x，
)，
∴f(x)=
•
=1+sin2x+
cos2x=2sin（2x+
）+1，
令
+2kπ≤2x+
≤
+2kπ（k∈Z），解得
+kπ≤x≤
+kπ（k∈Z），
因此，f（x）的单调递减区间为[
+kπ，
+kπ]（k∈Z）．
令2x+
=
+2kπ（k∈Z），得x=
+
（k∈Z）．
∴函数f（x）图象的对称轴方程是x=
+
（k∈Z）．
（2）若f（x）≥0，则2sin（2x+
）+1≥0，解得sin（2x+
）≥-
，
∴-
+2kπ≤2x+
≤
+2kπ（k∈Z），得-
+kπ≤x≤
+kπ（k∈Z），
∴使f（x）≥0成立的x的取值范围为[-
+kπ，
+kπ]（k∈Z）．
| a |
| b |
| 3 |
∴f(x)=
| a |
| b |
| 3 |
| π |
| 3 |
令
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
因此，f（x）的单调递减区间为[
| π |
| 12 |
| 7π |
| 12 |
令2x+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| kπ |
| 2 |
| π |
| 12 |
∴函数f（x）图象的对称轴方程是x=
| kπ |
| 2 |
| π |
| 12 |
（2）若f（x）≥0，则2sin（2x+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
∴-
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 7π |
| 6 |
| π |
| 4 |
| 5π |
| 12 |
∴使f（x）≥0成立的x的取值范围为[-
| π |
| 4 |
| 5π |
| 12 |
点评：本题给出向量
、
的坐标，求函数f(x)=
•
的单调区间与图象的对称轴方程．着重考查了向量数量积公式、三角恒等变换公式和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．
| a |
| b |
| a |
| b |
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