题目内容
已知椭圆
的左右焦点分别为
，点
为短轴的一个端点，
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）如图，过右焦点
，且斜率为
的直线
与椭圆相交于
两点，
为椭圆的右顶点，直线
分别交直线
于点
，线段
的中点为
，记直线
的斜率为
.
求证: 
为定值.
（1）
；（2）详见解析
解析试题分析：（1）由点为短轴的一个端点可知
，在直角三角形
中已知
，从而可得
。因为
，所以
.（2）设过点
的直线方程为：
，与椭圆方程联立消去
整理为关于
的一元二次方程，设点
即
为方程的两根，可得根与系数的关系。由斜率公式可分别求得直线
和直线
的斜率，根据点斜式可得两直线方程。直线和直线分别与直线联立，求交点
。根据中点坐标公式可得点
坐标。根据斜率公式求。即可证得为定值。
解：（1）由条件可知
， 2分
故所求椭圆方程为. 4分
（2）设过点的直线方程为：. 5分
由
可得：
6分
因为点在椭圆内，所以直线
和椭圆都相交，即
恒成立.
设点，则
. 8分
因为直线的方程为：
，
直线的方程为：
， 9分
令，可得
，
，
所以点的坐标
. 10分
直线的斜率为
12分
所以
为定值
. 13分
考点：1椭圆的简单性质及方程；2直线与椭圆的位置关系；
练习册系列答案
相关题目
为坐标原点,椭圆
的左右焦点分别为
,离心率为
;双曲线
的左右焦点分别为
,离心率为
,已知
,且
.
的方程;
点作
的不垂直于
轴的弦
,
为
与
交于
两点时,求四边形
面积的最小值.
是椭圆
上任一点，点
的距离为
，到点
的距离为
，且
．直线
与椭圆
、
(
轴上方)，且
．
轴正半轴的交点时，求直线
如何变化，直线
，直线
的方程为
，点
关于直线
，点
是抛物线的焦点，
是抛物线上的动点，求
的最小值及此时点
、
是抛物线上的动点，点
是抛物线与
轴正半轴交点，
是以
是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由． 
：
和椭圆
，椭圆C的离心率为
，连结椭圆的四个顶点形成四边形的面积为
.
时，设直线
与圆
相切，且与圆
相内切，记圆心
；设
为曲线
轴上的动点，
为坐标原点，过点
作
的平行线交曲线
两个不同的点.
和
的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由；
的面积为
，
的面积为
，令
，求
的最大值.
上的动点，点Ｄ是Ｐ在
轴上投影，Ｍ为PD上一点，且
．
的直线被C所截线段的长度．