Question

用0到9这十个数字可以组成多少个没有重复数字的四位偶数?

Answer 1

思路解析:本题考查排列数公式的应用.在本题中,0不能排在首位,末位只能从0,2,4,6,8这五个数字中取一个.显然,0是特殊元素,首位和末位是特殊位置.一般地,我们可从特殊元素的排列位置入手来考虑问题.

解法一:组成没有重复数字的四位偶数这件事,可以分成两类:

第一类:个位数字是0的四位偶数,有A个;

第二类:个位数字是2,4,6,8这四个数字之一的四位偶数,要分三个步骤完成:

第一步,从2,4,6,8中任取一个数字作为个位数字,有A种方法;

第二步,从除0以外的其余八个数字中,任取一个数字作为千位数字,有A种方法;

第三步,从剩余的八个数字中,任取两个数字作为百位和十位上的数字,有A种方法.

由分步乘法计数原理,第二类中的四位偶数有A·A·A个.

最后,由分类加法计数原理,符合条件的四位偶数共有

A+A·A·A=504+1 792=2 296(个).

解法二:组成没有重复数字的四位偶数这件事,可以分成两类:

第一类,从1,3,5,7,9中任取一个数字作为千位数字,从0,2,4,6,8中任取一个数字作为个位数字的四位偶数,有A·A·A(个).

第二类,从2,4,6,8中任取一个数字作为千位数字,从0,2,4,6,8中剩余的四个数字中,任取一个数字作为个位数字的四位偶数,有A·A·A(个).

由分类加法计数原理,符合条件的四位偶数共有

A·A·A+A·A·A=(25+16)×56=2 296(个).

解法三:从0到9这十个数字中任取4个且末位是偶数的排列数为A·A,其中0在首位的四位偶数为A·A,它们的差就是符合条件的四位偶数的个数,即所求的四位偶数是A·A-A·A=5×9×8×7-4×8×7=2 296(个).

方法归纳  解决排列问题的方法有直接法和间接法(正难则反)两种.直接法可从元素或位置入手;间接法主要是解决有约束条件的排列问题.