题目内容
定义在(-1，1)上的函数f(x)满足:①对任意x、y∈(-1,1)，都有f(x)+f(y)= 
.?
②当x∈(-1，0)时，有f(x)＞0.
(1)求证:函数f(x)是奇函数；
(2)判断f(x)在(-1，1)上的单调性，并加以证明；
(3)设-1＜a＜1，试求不等式f(a)+f(
)＞0的解.
(1)证明:令x=y=0，得2f(0)=f(0),∴f(0)=0.?
令y=x，得f(-x)+f(x)=f(0)=0.?
∴f(x)在(-1，1)上是奇函数.
(2)证明:设-1＜x1＜x2＜0，则?
f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=.?
∵-1＜x1＜x2＜0,∴0＜x1x2＜1.?
∴.?
∴-1＜
＜0.∴f(x1)-f(x2)＞0.?
∴f(x)在(-1，0)上是单调减函数.?
又∵f(x)在(-1，1)上是奇函数，?
∴f(x)在(-1，1)上是单调减函数.
(3)解析:由-1＜
＜1可得|
|＜1,得|x-1|＞1,?
∴x＞2或x＜0.?
∵f(a)+f(
)＞0,∴f(
)＞f(-a).?
∴
＜-a.?
①当a=0时，x＞1;?
②当-1＜a＜0时，x＜1+
或x＞1；?
③当0＜a＜1时，1＜x＜1+
.?
综上,可知①a=0时，x＞2;②-1＜a＜0时，x＜1+
或x＞2;③0＜a＜1时，2＜x＜1+
.
练习册系列答案
全优点练单元计划系列答案
相关题目