Question

10．设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（-1）=0，当x＞0时，xf′（x）-f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是（-∞，-1）∪（0，1）．

Answer 1

分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，利用g（x）的导数判断函数g（x）的单调性与奇偶性，
画出函数g（x）的大致图象，结合图形求出不等式f（x）＞0的解集．

解答 解：设g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，则g（x）的导数为：
g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，
即当x＞0时，g′（x）恒小于0，
∴当x＞0时，函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$为减函数，
又∵g（-x）=$\frac{f（-x）}{-x}$=$\frac{-f（x）}{-x}$=$\frac{f（x）}{x}$=g（x），
∴函数g（x）为定义域上的偶函数
又∵g（-1）=$\frac{f（-1）}{-1}$=0，
∴函数g（x）的大致图象如图所示：
数形结合可得，不等式f（x）＞0?x•g（x）＞0
?$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{g（x）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{g（x）＜0}\end{array}\right.$，
?0＜x＜1或x＜-1．
∴f（x）＞0成立的x的取值范围是（-∞，-1）∪（0，1）．
故答案为：（-∞，-1）∪（0，1）．

点评 本题考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式的应用问题，是综合题目．