题目内容

某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD是矩形,其中AB=2米,BC=1米;上部CDG是等边三角形,固定点E为AB的中点.△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通风),MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆.
(1)设MN与AB之间的距离为x米,试将△EMN的面积S(平方米)表示成关于x的函数;
(2)求△EMN的面积S(平方米)的最大值.

解:(1)①如图1所示,当MN在矩形区域滑动,即0<x≤1时,△EMN的面积S==x;
②如图2所示,当MN在三角形区域滑动,即1<x<时,连接EG,交CD于点F,交MN于点H,
∵E为AB中点,
∴F为CD中点,GF⊥CD,且FG=
又∵MN∥CD,∴△MNG∽△DCG.
,即
故△EMN的面积S==
综合可得:
(2)①当MN在矩形区域滑动时,S=x,所以有0<S≤1;
②当MN在三角形区域滑动时,S=
因而,当(米)时,S得到最大值,最大值S=(平方米).

∴S有最大值,最大值为平方米.
分析:(1)分类求出MN在矩形区域、三角形区域滑动时,△EMN的面积,可得分段函数;
(2)分类求出△EMN的面积的最值,比较其大小,即可得到最值.
点评:本题考查函数模型的建立,考查函数的最值,考查学生分析解决问题的能力,确定分段函数是关键.
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