题目内容
已知正项数列{an}中a1=2,点(
,an+1)在函数f(x)=
x3+x的导函数y=f'(x)图象上,数列{bn}中,点(bn,Sn)在直线y=-
x+3上,其中Sn是数列{bn}的前n项和(n∈N*)
(Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{cn}满足cn=
anbn,且数列{cn}的前n项和Tn,求证:Tn<
.
an |
1 |
3 |
1 |
2 |
(Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{cn}满足cn=
1 |
2 |
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4 |
分析:(Ⅰ)由函数f(x)=
x3+x,知f′(x)=x2+1,由正项数列{an}中,点(
,an+1)在函数f(x)=
x3+x的导函数y=f'(x)图象上,知an+1=an+1,由此能求出数列{an}的通项公式;数列{bn}中,点(bn,Sn)在直线y=-
x+3上,故Sn=-
bn+3,由此能求出数列{bn}的通项公式.
(Ⅱ)由cn=
anbn=
(n+1)•2•(
)n-1=(n+1)•(
)n-1,知Tn=2+3×(
) +4×(
)2+…+n×(
)n-2+(n+1)×(
)n-1,用错位相减法能够证明Tn=
-
•(
)n-1-(n+1)×(
)n≤
.
1 |
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an |
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3 |
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1 |
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(Ⅱ)由cn=
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3 |
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解答:(Ⅰ)解:∵函数f(x)=
x3+x,
∴f′(x)=x2+1,
∵正项数列{an}中,点(
,an+1)在函数f(x)=
x3+x的导函数y=f'(x)图象上,
∴an+1=an+1,
∵a1=2,
∴an=2+(n-1)=n+1.
∵数列{bn}中,点(bn,Sn)在直线y=-
x+3上,
∴Sn=-
bn+3,①
∴b1=-
b1+3,
解得b1=2.
Sn-1=-
bn-1+3,②
①-②,得bn=-
bn+
bn-1,
∴
bn=
bn-1,
∴
=
,
∴bn=2•(
)n-1.
(Ⅱ)证明:∵cn=
anbn=
(n+1)•2•(
)n-1=(n+1)•(
)n-1,
∴Tn=2+3×(
) +4×(
)2+…+n×(
)n-2+(n+1)×(
)n-1,
Tn=2×
+3×(
)2+4×(
)3+…+n×(
)n-1+(n+1)×(
)n,
∴
Tn=2+
+(
)2+(
)3+…+(
)n-1-(n+1)×(
)n
=2+
-(n+1)×(
)n
=2+
-
•(
)n-1-(n+1)×(
)n,
∴Tn=
-
•(
)n-1-(n+1)×(
)n≤
.
1 |
3 |
∴f′(x)=x2+1,
∵正项数列{an}中,点(
an |
1 |
3 |
∴an+1=an+1,
∵a1=2,
∴an=2+(n-1)=n+1.
∵数列{bn}中,点(bn,Sn)在直线y=-
1 |
2 |
∴Sn=-
1 |
2 |
∴b1=-
1 |
2 |
解得b1=2.
Sn-1=-
1 |
2 |
①-②,得bn=-
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∴
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2 |
1 |
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∴
bn |
bn-1 |
1 |
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∴bn=2•(
1 |
3 |
(Ⅱ)证明:∵cn=
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1 |
3 |
∴Tn=2+3×(
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∴
2 |
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1 |
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3 |
1 |
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1 |
3 |
=2+
| ||||
1-
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1 |
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=2+
1 |
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∴Tn=
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点评:本题考查数列与函数的综合,考查数列通项公式的求法和数列前n项和的证明,解题时要认真审题,注意错位相减求和法的合理运用.
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