题目内容
(2012•怀柔区二模)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正方形,四个侧面都是等边三角形,AC与BD的交点为O,E为侧棱SC上一点.
(1)当E为侧棱SC的中点时,求证:SA∥平面BDE;
(2)求证:平面BED⊥平面SAC.
(1)当E为侧棱SC的中点时,求证:SA∥平面BDE;
(2)求证:平面BED⊥平面SAC.
分析:(1)连接OE,当E为侧棱SC的中点时,OE为△SAC的中位线,所以SA∥OE,由此能够证明SA∥平面BDE.
(2)因为 SB=SD,O是BD中点,所以BD⊥SO,因为四边形ABCD是正方形,所以BD⊥AC,因为AC∩SO=O,所以BD⊥平面SAC.由此能够证明平面BDE⊥平面SAC.
(2)因为 SB=SD,O是BD中点,所以BD⊥SO,因为四边形ABCD是正方形,所以BD⊥AC,因为AC∩SO=O,所以BD⊥平面SAC.由此能够证明平面BDE⊥平面SAC.
解答:(本小题满分12分)
证明:(1)连接OE,当E为侧棱SC的中点时,OE为△SAC的中位线,
所以SA∥OE,(3分)
因为SA?平面BDE,OE?平面BDE,
所以SA∥平面BDE.(5分)
(2)因为SB=SD,O是BD中点,
所以BD⊥SO,(7分)
又因为四边形ABCD是正方形,所以BD⊥AC,(9分)
因为AC∩SO=O,所以BD⊥平面SAC.(11分)
又因为BD?平面BDE,
所以平面BDE⊥平面SAC.(12分)
证明:(1)连接OE,当E为侧棱SC的中点时,OE为△SAC的中位线,
所以SA∥OE,(3分)
因为SA?平面BDE,OE?平面BDE,
所以SA∥平面BDE.(5分)
(2)因为SB=SD,O是BD中点,
所以BD⊥SO,(7分)
又因为四边形ABCD是正方形,所以BD⊥AC,(9分)
因为AC∩SO=O,所以BD⊥平面SAC.(11分)
又因为BD?平面BDE,
所以平面BDE⊥平面SAC.(12分)
点评:本题考查SA∥平面BDE和平面BED⊥平面SAC的证明,解题时要认真审题,仔细解答,注意把空间几何问题转化为平面几何问题进行求解.
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