Question

【题目】已知函数f（x）=ax2+2ax+1，a≠0． （Ⅰ） 当a=1时，解不等式f（x）＞4；
（Ⅱ） 若函数f（x）在区间（1，2）上恰有一个零点，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=x2+2x+1，

由f（x）＞4，即（x+1）2＞4，解得：x＞1或x＜﹣3，

故不等式的解集是（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）；

（Ⅱ）f（x）=ax2+2ax+1=a（x+1）2+1﹣a，

函数的对称轴是x=﹣1，故f（x）在（1，2）单调，

若函数f（x）在区间（1，2）上恰有一个零点，

则f（1）f（2）＜0，即（3a+1）（8a+1）＜0，

解得：﹣ ＜a＜﹣

【解析】（Ⅰ）将a的值代入，解不等式即可；（Ⅱ）求出函数的对称轴，根据函数的单调性以及零点的个数单调f（1）f（2）＜0，解出即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识，掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．