题目内容

【题目】已知函数f(x)=﹣x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x﹣1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[﹣1,1],求a的取值范围.

【答案】
(1)解:当a=1时,f(x)=﹣x2+x+4,是开口向下,对称轴为x= 的二次函数,

g(x)=|x+1|+|x﹣1|=

当x∈(1,+∞)时,令﹣x2+x+4=2x,解得x= ,g(x)在(1,+∞)上单调递增,f(x)在(1,+∞)上单调递减,∴此时f(x)≥g(x)的解集为(1, ];

当x∈[﹣1,1]时,g(x)=2,f(x)≥f(﹣1)=2.

当x∈(﹣∞,﹣1)时,g(x)单调递减,f(x)单调递增,且g(﹣1)=f(﹣1)=2.

综上所述,f(x)≥g(x)的解集为[﹣1, ];


(2)解:依题意得:﹣x2+ax+4≥2在[﹣1,1]恒成立,即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1,1]恒成立,则只需 ,解得﹣1≤a≤1,

故a的取值范围是[﹣1,1].


【解析】(1)当a=1时,f(x)=﹣x2+x+4,g(x)=|x+1|+|x﹣1|= ,分x>1、x∈[﹣1,1]、x∈(﹣∞,﹣1)三类讨论,结合g(x)与f(x)的单调性质即可求得f(x)≥g(x)的解集为[﹣1, ];(2)依题意得:﹣x2+ax+4≥2在[﹣1,1]恒成立x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1,1]恒成立,只需 ,解之即可得a的取值范围.
【考点精析】解答此题的关键在于理解绝对值不等式的解法的相关知识,掌握含绝对值不等式的解法:定义法、平方法、同解变形法,其同解定理有;规律:关键是去掉绝对值的符号.

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