Question

【题目】如图所示为一个立方体ABCDEFGH，每边都用导体接入一个电阻值为r的电阻．试计算下列情况下各总电阻．

（1）A、G点间的等效电阻．

（2）A、D点间的等效电阻．

（3）如果B与F、C与G和D与H之间被短路时，A、G两点间的等效电阻．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】

解析1 这类网络固然复杂，但是只要利用其对称性，求解并不困难．

从等电势角度分析简化电路．

（1）由于对称性，设端点A流入电流I，分流后最后在G点汇合流出，B、D、E三点为等势点，故可用导线连接而不会改变线路的电流．对C、H、F三点来说，情况也是这样，故可得等效电路如图所示．

图中各电阻的阻值均为r，所以A、G间的总电阻为

（2）设想电流从A流入、D流出，由于对称性，可知B和E等势，C和H等势．若用导线将B和E及C和H连接，对电路不会产生任何影响，这时的等效电路如图所示．

由此可见

，

故，又

，

故．

（3）若BF、CG、DH被短路，则B与F、C与G、D与H等电势．由于B点与D点具有轴对称，故B、D也等势（即B、F、D、H四点等势），则A与G之间的等效电路，如图所示．

由图可知

，

．

又，故

．

方法2从电流分流角度分析电路．

（1）由于对称性，立方体在A点的三边AB、AD、AE以及在G点的三边CG、FG、HG有相等的电流．

从对称性同样可得在BC与BF、EF与EH、DH与EH中也有相等的电流．设电流I从A点流入，G点流出，立方体各边的电流如图所示．

根据欧姆定律，A、G两点间的电势差为

．

因从A端流入（或G端流出）的电流强度为I，故等效电阻

（2）由于对称性，AB、AE、CD和HD都有相同电流，设为i，又设AD中的电流为j，则在B、E、H和C各点都将电流i再分成和，流经FG的电流则为2i．立方体各边的电流如图所示．

根据欧姆定律，A、D两点间的电势差

．

而，，

，，故

． ①

同样从可得

②

从①式和②式可解得

． ③

将③式代入②式可得．

即,等效电阻

（3）在B与F、C与G、D与H之间短路后，由对称性知，AB和AD中流过的电流应相同（设为i），EH和EF中流过的电流也应相等（设为），并根据在每一节点上流进的总电流等于流出的总电流的原则，把经短路后的电路简化为如图所示的电路．

在图上标出每一支路及从A、G端流进或流出的电流的数值，根据欧姆定律，可得以下关系

．

而，，，

代入上式可得，

又，

，，

故，等效电阻

．

本题解析中采用的等势法和分流法都是电路分析中常用的方法，应熟练掌握．