Question

【题目】从地球表面向火星发射火星探测器。设地球和火星都在同一平面上绕太阳做圆周运动，火星轨道半径为地球轨道半径的1.500倍。简单而又比较节省能量的发射过程可分为两步进行。第一步，在地球表面用火箭对探测器进行加速，使之获得足够的动能，从而脱离地球引力作用成为一个沿地球轨道运行的人造卫星。第二步，在适当时刻点燃与探测器连在一起的火箭发动机，在短时间内对探测器沿原方向加速，使其速度数值增加到适当值，从而使得探测器沿着一个地球轨道及火星轨道分别在长轴两端相切的半个椭圆轨道正好射到火星上，如图甲所示。

(1)为使探测器成为沿地球轨道运行的人造卫星，必须加速探测器，应使之在地面附近获得多大的速度（相对于地球）？

(2)当探测器脱离地球并沿地球公转轨道稳定运行后，在某年3月1日零时测得探测器与火星之间的角距离为，如图乙所示。问：应在何年何月何日点燃探测器上的火箭发动机方能使探测器恰好落在火星表面？（时间计算仅需精确到日）已知地球半径为，重力加速度可取。

Answer 1

【答案】同年的4月7日

【解析】

(1)设地球的质量为，探测器及其附加装置的总质量为m，则探测器在地球表面的动能和引力势能分别为

，

.

当探测器脱离地球引力作用成为沿地球轨道运动的人造行星时，可以认为探测器的引力势能；相对于地球的速度为零，因而，由机械能守恒有

，

得.

代入数值得.

(2)为使探测器落到火星上，必须选择适当时机点燃探测器上的火箭发动机，使得探测器沿椭圆轨道到达与火星轨道的相切点时，火星也恰好运行到这一点。为此，必须首先确定点燃火箭发动机时探测器与火星的相对位置，已知探测器在地球公转轨道上运行周期与地球公转周期相同，即

.

根据开普勒第三定律，火星的公转周期为

.

而探测器的椭圆轨道上的半长轴为

.

所以探测器在椭圆轨道上的运行周期为

.

因此探测器从点燃火箭发动机至到达火星，需时间.

探测器在点燃火箭发动机前绕太阳转动的角速度为

.

火星绕太阳转动的角速度为

.

由于探测器运行至火星需时255d，火星在此期间运行的角距离为

.

即探测器在椭圆轨道近日点发射时，火星应在其远日点的切点之前。亦即点燃火箭发动机时，探测器与火星的角距离应为，如图丙所示。

已知某年3月1日零时探测器与火星的角距离为（火星在前，探测器在后）。为使其角距离成为，必须等待两者在各自轨道中运行至某个合适的时机。

设两者到达合适位置，探测器又经历的天数为t，则

，

即.

故点燃火箭发动机的时刻应为当年的3月1日之后38天，即同年的4月7日。