Question

【题目】已知函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|，不等式f（x）≤2的解集为M．
（1）求M；
（2）记集合M的最大元素为m，若正数a，b，c满足a2+3b2+2c2=m，求ab+2bc的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：不等式f（x）≤2，即|2x+1|﹣|x﹣2|≤2，即 ①；或 ②；或 ③．

解求得﹣5≤x≤﹣ ；解求得﹣ ＜x≤1；解求得 x∈．

综合可得，不等式f（x）≤2的解集为M={x|﹣5≤x≤1}

（2）解：由（1）可得M中的最大元素m=1，故有 a2+3b2+2c2=m=1，

∴ab+2bc≤ +b2+c2= = ，当且仅当a=b时，等号成立，

故ab+2bc的最大值为

【解析】（1）分类讨论，去掉绝对值，求出不等式f（x）≤2的解集为M．（2）由（1）知m=1，可得a2+3b2+2c2=1，利用基本不等式求ab+2bc的最大值．
【考点精析】通过灵活运用绝对值不等式的解法，掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号即可以解答此题．