Question

【题目】在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+mx﹣3的图象与x轴交于A，B两点，点C的坐标为（0，1）．当m变化时，解答下列问题：
（1）以AB为直径的圆能否经过点C？说明理由；
（2）过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：以AB为直径的圆不经过点C，理由如下：

二次函数y=x2+mx﹣3的图象与x轴交于A，B两点，设A（x1，0），B（x2，0），

则x1x2=﹣3，

又C的坐标为（0，1），

故AC的斜率与BC的斜率之积为 =﹣ ，

所以不能出现AC⊥BC的情况，以AB为直径的圆不经过点C

（2）解：设过A，B，C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2﹣4F＞0），

将A，B，C三点坐标带入，

得x12+Dx1+F=0，x22+Dx2+F=0，1+E+F=0．

∴x1x2=﹣3=F，

从而E=2，

∴圆的方程为x2+y2+Dx+2y﹣3=0，令x=0，

得y2+2y﹣3=0，

∴y1=﹣3，y2=1，

进而得到圆在y轴上截得的弦长是定值为4

【解析】（1）以AB为直径的圆是否经过点C，只需判断AC所在直线与BC所在直线是否垂直，即两直线的斜率积是否为-1.若积为-1，那么两条线段互相垂直即经过点C，否则不经过；（2）先设出圆的一般方程，再将点A，B，C的坐标代入进行化简求值，令x=0进而得到圆在y轴上截得的弦长值.
【考点精析】掌握二次函数的性质是解答本题的根本，需要知道增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．