Question

【题目】一根不可伸长的钢索系在质量的轮船上。在时刻发动机开始拉钢索，同时钢索张力开始增大，达到最大值，然后保持恒定。如果轮船运动引起水的阻力与船速的平方成正比，求在时刻钢索的最大张力。（轮船的加速度随时间变化的图像如图所示）

Answer 1

【答案】

【解析】

在任何时刻轮船运动方程为，

式中为钢索的张力，而为水的阻力与轮船速度的比例系数. 设在时刻轮船的加速度等于，速度等于，而钢索拉力等于，则此时轮船的运动方程为

. ①

当钢索张力在一段长时间保持恒定（）后，轮船的加速度将趋近零，其速度趋近于某一个值，则运动方程为

. ②

解①②方程组得到钢索的最大张力为.

由于速度在数值上等于在时间内曲线所围的面积，而速度在数值上等于在时间内曲线所围的面积，则.

本题中轮船受到的阻力与速度的平方成正比，且轮船的运动是变加速的，-这类受力与运动在中学常规数学中只作定性讨论，不作定量要求，而在竞赛中，只要有可能求解，是不受此约束的.

运动图像是图像运用的基础，但作为信息条件给出时，我们基本上是围绕特殊点、斜率、截距、面积等来读取信息，当然，要获取这些信息的前提是知晓这些量所对应的物理意义，如本题图像中，曲线与坐标轴所围的面积即为轮船速度的变化.

此外，对于由不规则所围的面积的计算一般都通过画坐标格进行估算，本题的解答过程中并未给出这一估算的方法，但大家可以对图形进行放大，并在坐标格上处理后，估算出，进而求解.