Question

【题目】我国在1971年发射的科学实验卫星在以地心为焦点的椭圆轨道上运动。已知卫星近地点高度为，远地点高度为，卫星经过近地点时速率为，试求卫星通过远地点时的速度和卫星运行周期。计算中取地球半径，空气阻力不计。

Answer 1

【答案】,

【解析】

如图所示，因为卫星所受地球引力的作用线通过地球中心，所以卫星对地球中心的角动量守恒。

已知在卫星轨道的近地点径矢的大小为

.

在远地点径矢的大小为

.

设卫星在远地点的速度为，因远、近地点的速度与该处径矢垂直，由动量守恒定律可得

.

由此得 .

求卫星的运行周期T。

由开普勒第二定律可知

。

由几何关系知，椭圆面积为，其中a、b分别为椭圆的半长、短轴，它们可由远、近地点的径矢求出：

.

又卫星的矢径的面积速度为，代入计算周期公式，得

，

即卫星运行周期约为1小时46分。