Question

【题目】已知函数f（x）=|x﹣a|+|2x﹣1|（a∈R）． （Ⅰ）当a=1时，求f（x）≤2的解集；
（Ⅱ）若f（x）≤|2x+1|的解集包含集合[ ，1]，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（I）当a=1时，f（x）=|x﹣1|+|2x﹣1|，f（x）≤2|x﹣1|+|2x﹣1|≤2，

上述不等式可化为 或 或

解得 或 或

∴ 或 或 ，

∴原不等式的解集为 ．

（II）∵f（x）≤|2x+1|的解集包含 ，

∴当 时，不等式f（x）≤|2x+1|恒成立，

即|x﹣a|+|2x﹣1|≤|2x+1|在 上恒成立，

∴|x﹣a|+2x﹣1≤2x+1，

即|x﹣a|≤2，∴﹣2≤x﹣a≤2，

∴x﹣2≤a≤x+2在 上恒成立，

∴（x﹣2）max≤a≤（x+2）min，∴ ，

所以实数a的取值范围是 ．

【解析】（ I）运用分段函数求得f（x）的解析式，由f（x）≤2，即有 或 或 ，解不等式即可得到所求解集；（Ⅱ）由题意可得当 时，不等式f（x）≤|2x+1|恒成立．即有（x﹣2）max≤a≤（x+2）min．求得不等式两边的最值，即可得到a的范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解绝对值不等式的解法的相关知识，掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．