Question

【题目】卫星携带一探测器在半径为（为地球半径）的圆轨道上绕地球飞行.在点，卫星上的辅助动力装置短暂工作后，将探测器沿运动方向射出（设辅助动力装置喷出的气体质量可忽略）.若探测器恰能完全脱离地球的引力，而卫星沿新的椭圆轨道运动，其近地点距地心的距离为（略小于3），求卫星与探测器的质量比.

（质量分别为、的两个质点相距为时的引力势能为—，式中为引力常量）

Answer 1

【答案】

【解析】

设地球质量为，卫星质量为，探测器质量为，当卫星与探测器一起绕地球做圆周运动时，由万有引力定律和牛顿第二定律可得

，

即.

设分离后探测器速度为，探测器刚好脱离地球引力，应满足

，

.

设分离后卫星速度为，由机械能守恒定律可得

.

由开普勒第二定律，有

.

联立解得.

由分离前后动量守恒可得

.

联立解得.

航天飞机与卫星的分离，卫星与探测器的分离等问题，可能都会涉及轨道的变化.处理这类模型涉及的规律通常都比较一致，即动量守恒、机械能守恒、角动量守恒、开普勒定律等，如含有圆周运动，则又涉及牛顿运动定律的应用，据此，一般都能得到解答问题的方程式，只是在竞赛试题中，对处理过程的数学要求更高一些.