题目内容
【题目】设函数f(x)=|x+ |+|x﹣a|(a>0).
(1)证明:f(x)≥2;
(2)若f(3)<5,求a的取值范围.
【答案】
(1)解:证明:∵a>0,f(x)=|x+ |+|x﹣a|≥|(x+
)﹣(x﹣a)|=|a+
|=a+
≥2
=2,
故不等式f(x)≥2成立.
(2)解:∵f(3)=|3+ |+|3﹣a|<5,
∴当a>3时,不等式即a+ <5,即a2﹣5a+1<0,解得3<a<
.
当0<a≤3时,不等式即 6﹣a+ <5,即 a2﹣a﹣1>0,求得
<a≤3.
综上可得,a的取值范围( ,
)
【解析】(1)由a>0,f(x)=|x+ |+|x﹣a|,利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f(x)≥2成立.(2)由f(3)=|3+
|+|3﹣a|<5,分当a>3时和当0<a≤3时两种情况,分别去掉绝对值,求得不等式的解集,再取并集,即得所求.
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