题目内容
【题目】如图甲所示，在半径为a的圆柱空间中（图中圆为其横截面）充满磁感应强度大小为B的均匀磁场，其方向平行于轴线远离读者。在圆柱空间中垂直轴线平面内固定放置一绝缘材料制成的边长为
的刚性等边三角形框架DEF，其中心O位于圆柱的轴线上。DE边上S点
处有一发射带电粒子的源，发射粒子的方向皆在图中截面内且垂直于DE边向下。发射粒子的电量皆为
，质量皆为m，但速度v有各种不同的数值。若这些粒子与三角形框架的碰撞均为完全弹性碰撞，并要求每一次碰撞时速度方向垂直于被碰的边。试问：
(1)带电粒子速度v的大小取哪些数值时可使S点发出的粒子最终又回到S点？
(2)这些粒子中，回到S点所用的最短时间是多少？
【答案】(1) 
，n=4，5，6，… (2)
【解析】
带电粒子（以下简称粒子）从S点垂直于DE边以速度v射出后，在洛仑兹力作用下做匀速圆周运动，其圆心一定位于DE边上，其半径R可由
求得
。 ①
(1)要求此粒子每次与
的三条边碰撞时都与边垂直，且能回到S点，则R和v应满足以下条件：
(ⅰ)与边垂直的条件。
由于碰撞时速度v与边垂直，粒子运动轨迹圆的圆心一定位于三角形的边上，粒子绕过三角形顶点D、E、F时的圆弧的圆心就一定要在相邻边的交点（即D、E、F）上。粒子从S点开始向右做圆周运动，其轨迹为一系列半径为R的半圆，在SE边上最后一次的碰撞点与E点的距离应为R，所以
的长度应是R的奇数倍。粒子从FD边绕过D点转回到S点时，情况类似，即
的长度也应是轨道半径的奇数倍。取
，则当的长度被奇数除所得的R也满足要求，即
。
因此为使粒子与三角形各达发生垂直碰撞，R必须满足下面的条件：
，n=1，2，3，…。 ②
此时
，n=1，2，3，…。
为
的奇数倍的条件自然满足。只要粒子绕过E点与EF边相碰，由对称关系可知，以后的碰撞都能与三角形的边垂直。
（ⅱ）粒子能绕过顶点与三角形的边相碰的条件。
由于磁场局限于半径为a的圆柱范围内，如果粒子在绕E点运动时圆轨迹与磁场边界相交，它将在相交点处以此时的速度方向沿直线运动而不能返回。所以粒子做圆周运动的半径R不能太大，由题图见，必须
（三角形的顶点沿圆柱半径到磁场达界的距离
时，粒子圆运动轨迹与圆柱磁场边界相切），由给定的数据可算得
。 ③
将n=1，2，3，…，分别代入②式，得
，
；
，
；
，
；
，
。
由于
，
，
，这些粒子在绕过三角形的顶点E时，将从磁场边界逸出，只有
的粒子能经多次碰撞绕过E、F、D点，最终回到S点。由此结论及①②两式可得与之相应的速度为
，n=4，5，6，…。④
这就是由S点发出的粒子与三角形的三条边垂直碰撞并最终又回到S点时，其速度大小必须满足的条件。
(2)这些粒子在磁场中做圆周运动的周期为
。
将①式代入，得
。 ⑤
可见在B及
给定时T与v无关。粒子从S点出发最后回到S点的过程中，与三角形的达碰撞次数愈少，所经历的时间就愈少，所以应取，如图乙所示（图中只画出在边框DE的碰撞情况），此时粒子的速度为
，由图可看出该粒子的轨迹包括
个半圆和3个圆心角为300°的圆弧，所需时间为
。 ⑥
以⑤式代入得。 ⑦
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