题目内容

【题目】综合题:(1)解不等式:|2x﹣1|﹣|x|<1;(2)设f(x)=x2﹣x+1,实数a满足|x﹣a|<1,求证:|f(x)﹣f(a)|<2(|a+1|)
(1)解不等式:|2x﹣1|﹣|x|<1;
(2)设f(x)=x2﹣x+1,实数a满足|x﹣a|<1,求证:|f(x)﹣f(a)|<2(|a+1|)

【答案】
(1)解:根据题意,对x分3种情况讨论:

①当x<0时,原不等式可化为﹣2x+1<﹣x+1,解得x>0,又x<0,则x不存在,

此时,不等式的解集为

②当0≤x< 时,原不等式可化为﹣2x+1<x+1,解得x>0,又0≤x<

此时其解集为{x|0<x< }.

③当x≥ 时,原不等式化为2x﹣1<x+1,解得 ≤x<2,

又由x≥ ,此时其解集为{x| ≤x<2},

综上,原不等式的解集为{x|0<x<2}.


(2)证明:∵f(x)=x2﹣x+1,实数a满足|x﹣a|<1,

故|f(x)﹣f(a)|=|x2﹣x﹣a2+a|=|x﹣a||x+a﹣1|<|x+a﹣1|=|x﹣a+2a﹣1|≤|x﹣a|+|2a﹣1|<1+|2a|+1=2(|a|+1).

∴|f(x)﹣f(a)|<2(|a|+1).


【解析】(1)使用零点分类讨论,去掉绝对值符号,解不等式,得出满足条件的x的取值范围;(2)由题意写出,采取适当放缩可得出结论.

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