Question

【题目】重为的圆柱位于可动的水平平面与固定的倾角为的斜面之间，如图所示，圆柱体与水平面间的动摩擦因数和静摩擦因数均为，圆柱体与斜面间的动摩擦因数和静摩擦因数均为，为使水平面能向左匀速运动，至少要对它施以多大的力？不考虑圆柱以外的物体施于水平面的阻力.

Answer 1

【答案】若，则不管为何值，均有；若，且，则；

若，且，则无论用多大的水平力均不可能使水平板向左做匀速运动.

【解析】

如图乙所示,由于水平面向左匀速运动,圆柱有随之运动的趋势,但受到斜面的限制,圆柱不能随水平板一起向左运动,由此圆柱受到水平板的方向向左的摩擦力的作用.在图乙所示的位置时,圆柱的运动状态只可能是以下三种形式中的一种,即:

(1)圆柱与水平面的接触点处不发生滑动,即圆柱沿顺时针方向绕点做无滑滚动,由于水平板的运动是匀速的,则此时圆柱体的转动也是匀速的。

(2)圆柱与斜面的接触点处不发生滑动,而圆柱与水平面的接触点处发生滑动,此时圆柱处于静止状态(当然圆柱也没有转动);

(3)圆柱在处和处均不发生滑动,这时圆柱也是处于静止状态,且圆柱下的水平面也被“卡死”而不能发生运动。

以上三种情况下,圆柱均处于平衡状态(静止或匀速转动),可根据圆柱所受合力矩为零的条件定出斜面对圆柱体的摩擦力方向应沿斜面向下故得这三种情况下圆柱体的受力如图乙所示:其中为圆柱体的重力,和为水平面对圆柱体的弹力和摩擦力,和为斜面对圆柱体的弹力和摩擦力。

对于圆柱体，以点为转轴时其转动平衡方程为，

式中表示圆柱的半径，可见与大小相等，以表示之，则有

. ①

对圆柱体以点为转轴列转动平衡方程，则.

由于，则上式变为

. ②

对圆柱体列其水平方向受力平衡的方程，则.

故得

. ③

（1）现就处无相对滑动而处有相对滑动的情况入手进行讨论，此时相当于圆柱在水平板上做顺时针方向的无滑滚动. 如图丙所示，以点为转轴，圆柱能发生顺时针方向转动的条件是和对点的合力矩应沿顺时针方向，即对点的力矩值应大于对点的力矩值，则，即. ④

而，可见当时，任意大小的和都可以保证④式的成立，这时，不管有多大，也不管对水平板施加多大的外力，均可使圆柱在水平板上做无滑滚动. 显然，为使水平板维持匀速运动的最小外力是.

若，则由和作用于圆柱的力矩将要求圆柱绕点沿顺时针方向转动，显然，这是不可能的. 即在这种情况下，在点圆柱与斜面之间不可能再发生相对运动了.

（2）当时，设在点发生相对滑动，则有

. ⑤

由②③⑤式，有，所以，.

令，则上式可以写为

. ⑥

若，则为某一正值，表明上述假设在点发生相对滑动（此时在点无相对滑动）是成立的. 此时拉水平板匀速前进的力与大小相等，由③式和⑥式，有，所以.

若，由⑥式可知无意义或为负值，结合本题实际表示的是在点不可能发生相对滑动，由前述这时在点也不能发生相对滑动. 即此时水平板已被“卡死”，不管用多大的水平力都不可能使它沿水平方向向左做匀速运动了.

综合上述，本题的答案为

①若，则不管为何值，均有；

②若，且，则；

③若，且，则无论用多大的水平力均不可能使水平板向左匀速运动.

本题从模型的基本构造上看，也是以多点摩擦与临界分析为主要问题的试题，但在临界问题中嵌入了不确定状态的分析，而且其不确定的状态看上去还“有悖常理”. 如在拉动平板小车时，当时，居然有，因为模型最初给读者的直觉是，只要拉动小车，圆柱体就会与斜面发生作用，力也就会随之产生，拉力就不可能为0，而运算的结果显示，在一定条件下，这种直觉是错误的.

数学与物理是紧密相关的，学习物理的确是需要直觉，但仅有直觉是不够的，没有严谨依据的直觉常常是错的，而数学是严谨的，很多人常常在审题过程中从直觉开始构建模型，甚至是输出结果，从而导致出错，这是缺乏严谨思维的表现.

事实上，有很多我们不熟悉，甚至是“有悖”于自己认识的物理现象与规律，都是从严谨的数学分析中得出的，从数学结果分析物理问题的能力，也应是从事物理学习必备的能力之一.