题目内容
【题目】有一放在空气中的玻璃棒，折射率
，中心轴线长
，一端是半径为
的凸球面
（1）要使玻璃棒的作用相当于一架理想的天文望远镜（使主光轴上无限远处物成像于主光轴上无限远处的望远系统），取中心轴为主光轴，玻璃棒另一端应磨成什么样的球面？
（2）对于这个玻璃棒，由无限远物点射来的平行入射光束与玻璃棒的主光轴成小角度
时，从棒射出的平行光束与主光轴成小角度
，求
（此比值等于此玻璃棒的望远系统的视角放大率）
【答案】（1）右端应为半径等于5cm的向外凸面球面 （2）
【解析】
首先我们知道，对于一个望远系统来说，从主光轴上无限远处物点发出的入射光线为平行于主光轴的光线，它经过系统后的出射光线也应与主光轴平行，即像点也在主光轴上无限远处，然后我们再运用正弦定理、折射定律及小角度近似计算，即可得出最后结果.
（1）对于一个望远系统来说，从主光轴上无限远处的物点发出的入射光为平行于主光轴的光线，它经过系统后的出射光线也应与主光轴平行，即像点也在主光轴上无限远处，如图所示，图中
为左端球面的球心。
由正弦定理、折射定律和小角度近似得
①
即
.②
光线
射至另一端面时，其折射光线为平行于主光轴的光线，由此可知该端面的球心
一定在端面顶点
的左方，
等于球面的半径
仿照上面对左端球面上折射的关系可得
. ③
又有
④
由②③④式并代入数值可得
.⑤
即右端应为半径等于5cm的向外凸球面.
（2）设从无限远处物点射入的平行光线用
、
表示，令过，过
，如图所示，则这两条光线经左端球面折射后的相交点
，即为左端球面对此无限远物点成的像点。现在求点的位置.在
中，
. ⑥
又
，⑦
已知
、
均为小角度，则有
.⑧
与②式比较可知，
，即位于过垂直于主光轴的平面上.上面已知，玻璃棒为天文望远系统，则凡是过点的傍轴光线从棒的右端面射出时都将是相互平行的光线.容易看出，从射向的光线将沿原方向射出，这也就是过点的任意光线（包括光线、）从玻璃棒射出的平行光线的方向.此方向与主光轴的夹角即为
.
. ⑨
由②③式可得
，则
.
放大镜、望远镜等光学仪器的名称都是根据仪器的功能进行命名的，并不一定有固定的结构.如望远镜的基本功能就是将远处的物体相对观察者的视角进行放大，以达到看得更清晰的目的.本题所给出的光学仪器便是一个简单的望远镜，但从结构上讲，它就是一基本的双球面的折射成像系统，从功能来讲，它就是将远处的物体对观察者的视角进行了放大.对于各类光学仪器，只要清楚了它们的功能，就能循着这一功能寻找特殊光线，如本题中就是对来自无穷远的光线进行研究，进而求解问题.
轻松课堂单元期中期末专题冲刺100分系列答案
