Question

【题目】圆锥透镜如图所示，，为锥面，为底面.通过锥顶垂直于底面的直线为光轴.平行光垂直入射于底面，现在把一垂直于光轴的平面屏从透镜顶点向右方移动，不计光的干涉与衍射.

（1）用示意图画出在屏上看到的图像，当屏远离锥顶时图像怎样变化？

（2）设圆锥底面半径为，锥面母线与底面的夹角为，透镜材料的折射率为，令屏离锥顶的距离为，求出为描述图像变化需给出的屏的几个特殊位置.

Answer 1

【答案】（1）. （2）在第1问解答中：①②③④所述的变化过程对应于。⑤⑥所述的图像变化过程对应于。⑦⑧所述的图像变化过程对应于。

【解析】

（1）入射光线进入透镜底面时，方向不变，只要在镜面上发生折射，如图所示.

由图可见，过锥面的折射角满足折射定律，有.

而光线的偏向角，即折射光线与轴的夹角为.

在下图中画出在图面上的入射光线经透镜后的折射光束的范围.所有平行入射光线过锥面处和处的折射光线分别相互平行，构成两个平面光束，交角为.把图绕光轴旋转180°.就得到经过透镜后的全部出射光线的空间分布.

下面分析在屏上看到的图像及屏向远处移动时图像的变化.

①当屏在处时，照到屏，上的光束不重叠，屏上是一个明亮程度均匀的圆盘，半径略小于.

②屏在、之间时，照到屏上的光束有部分重叠，在光束重叠处屏上亮度较不重叠处大，特别是在屏与光轴的交点，即屏上图像中央处，会聚了透镜底面上一个极细的圆环上的全部入射光的折射光，因此这一点最亮.在这点周围是一个以这点为中心的弱光圆盘，再外面是更弱的光圆环，如图（a）.

③在屏从到远移过程中，屏上图像中央的亮点越远越亮（这是因为会聚在这里的入射光细圆环半径增大，面积增大）；外围光圆盘越远越大，再外的弱光圆环则外径减小，宽度减小，直到屏在点时弱光环消失.

④屏在点时，在中央亮点之外有一亮度均匀的光圆盘，如图（b）.

丁

⑤屏继续远移时，图像又一般地如图（a）形状，只是屏越远中央亮点越亮，亮点周围光圆盘越小，再外弱光环越宽、越大.

⑥当屏移到点时，图像中亮点达到最大亮度.外围是一个由弱光圆环扩大而成的光圆盘，如图（c）.

⑦屏移过点后到达光束缚不重叠的区域，这时屏上图像为中央一个暗圆盘，外围一个弱光圆环，不再有中央亮点，如图（d）.

⑧屏继续远移，图像形状仍如图（d），只是越远暗盘半径越大，外围弱光环也扩大，但环的宽度不变.

（2）在较小时，也小，有，，故.略去透镜厚度，则，处距的距离分别为，.

因此在第（1）问解答中：①②③④所述的变化过程对应于；⑤⑥所述的图像变化过程对应于；⑦⑧所述的图像变化过程对应于.

本题是光的折射及视场问题的基本分析题，只是给定的透镜是圆锥体，对其形成的光照亮区的描述应考虑到空间属性，从而提高了一定的难度.但本题对光的叠加区域的分析为光的干涉区域的分析做了铺垫.