Question

【题目】有半径分别为R和2R的两同轴薄壁圆筒A、B，两筒壁间夹有一半径恰为的小圆筒。当A、B两筒分别以和的角速度沿相反方向匀速转动时，小圈筒也跟着转动。当小圆筒转动时，与A、B两筒的接触点间无相对滑动，如图所示。问：

（1）.小圆筒相对地面和相对B筒运动一周所需的时间各为多少？

（2）.小圆筒上与B筒的接触点C此时相对地面和相对A筒的加速度各为多大？

Answer 1

【答案】（1）；（2）；

【解析】

为了下面讨论问题的方便，首先求出小圆筒的筒心O点相对地面的速度以及小圆筒绕O点转动的。

利用小圆筒与A、B圆筒接触点无滑动的条件可得C、D点的速度满足：

，，

解得，。

1．小圆筒相对于地面运动一周需要的时间为

。

要求出小圆筒相对于B筒运动一周的时间，需求小圆筒中心相对于B筒的速度。因为小圆筒O点的绝对速度（对地）为，所以，小圆筒在B筒参考系中的牵连速度为，而且两者的方向相同，则O相对于B筒的相对速度为

。

则小圆筒相对于B筒运动一周所需的时间为

。

2．先讨论筒相对于地面的加速度。

在O点上架一个平动参考系，在此平动参考系中C相对于O点的加速度方向由C指向O，大小为。

再求平动参考系中的O点对地的加速度。

由于O点的线速度为一定值，所以这个加速度的方向由O指向，大小为，所以

。

在求C点相对于A的加速度之前，应先求出O相对于A筒的相对速度以及小圆筒在A筒参考系中的角速度。

易得。

另外，（相对于A简）与的求法相同，得。

所以

。