题目内容
【题目】如图所示,一个沙漏(古代的一种计时器)置于一个台秤上,初始时瓶中所有沙子都放在上面的容器中,瓶的质量为M,瓶中沙子的质量为m。在时,沙开始被释放并流入下面的容器中,沙子以常数的质量变化率离开上面的容器。请画出(并定量标明)一个图,给出在的全部时间内秤的读数。
【答案】
【解析】
沙子由上面的容器到下面的容器所用的时间为
沙子碰到下容器前的速度为。
(1).在沙子开始下落到沙子开始碰到下容器底部前的一段时间,,盘秤的读数为
。
(2)从沙子开始碰到下容器直到全部沙子离开上容器那一段时间,(为全部沙子离开上容器的时刻),沙子对容器的作用可分为两部分:
一是静止在容器中的沙子由于重力作用而对容器产生压力作用,其大小为
。
二是下落的沙子在与容器碰撞过程中对容器的作用力。设在很短时间内与容器相碰的沙子的质量为,由动量定理,对下落相碰的沙子有
。
将代入得
。
由于很小,故有。
所以盘秤的读数为
。
(3)从沙子全部离开上容器直到全部到达下容器底部为止的一段时间里,,盘秤的读数为
。
(4)沙子全部下落到下容器后,盘秤的读数为
。
综合上述4个过程的分析,盘秤读数与时间的关系图线如下图所示。
图中,,。
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