Question

【题目】如图所示，一个沙漏（古代的一种计时器）置于一个台秤上，初始时瓶中所有沙子都放在上面的容器中，瓶的质量为M，瓶中沙子的质量为m。在时，沙开始被释放并流入下面的容器中，沙子以常数的质量变化率离开上面的容器。请画出（并定量标明）一个图，给出在的全部时间内秤的读数。

Answer 1

【答案】

【解析】

沙子由上面的容器到下面的容器所用的时间为

沙子碰到下容器前的速度为。

（1）．在沙子开始下落到沙子开始碰到下容器底部前的一段时间，，盘秤的读数为

。

（2）从沙子开始碰到下容器直到全部沙子离开上容器那一段时间，（为全部沙子离开上容器的时刻），沙子对容器的作用可分为两部分：

一是静止在容器中的沙子由于重力作用而对容器产生压力作用，其大小为

。

二是下落的沙子在与容器碰撞过程中对容器的作用力。设在很短时间内与容器相碰的沙子的质量为，由动量定理，对下落相碰的沙子有

。

将代入得

。

由于很小，故有。

所以盘秤的读数为

。

（3）从沙子全部离开上容器直到全部到达下容器底部为止的一段时间里，，盘秤的读数为

。

（4）沙子全部下落到下容器后，盘秤的读数为

。

综合上述4个过程的分析，盘秤读数与时间的关系图线如下图所示。

图中，，。