题目内容
【题目】三个半径同为R、质量同为m的匀质光滑小球放在光滑水平桌面上,用一根不可伸长的均匀橡皮筋把它们约束起来。再如图所示地将一个半径也为R,质量是上述各小球质量3倍的匀质光滑小球放在上述3个小球中间正上方,因受橡皮筋约束,下面3个小球并未分离。试求:
(1)放置上面的小球后,橡皮筋张力增量;
(2)将橡皮筋剪断后,上面的小球碰到桌面时的速度u。
【答案】(1) (2)
【解析】
称上面的小球为球1,球心为,下面3个小球分别为球2、球3、球4,球心对应为
、
、
。
(1)连结、
、
、
,如图乙所示,则各球心之间的距离均为2R。对图中的
角,易知有
,
。
设球1对下面每个小球压力为N,则球2、3、4对球1反作用力的合力为3mg(球1的质量设为3m),即有
。
由此可得。
球2、3、4各自所受力N的水平分力为
。
如图丙所示,橡皮筋张力T的增量应正好用来平衡
。易得到
,即
。
(2)橡皮筋剪断后,球1开始向下运动,球2、3,4在球1的压力作用下做水平运动。球1运动一段时间后,会与球2、3、4分离,分离的条件是相互间作用力。球1与下面3个小球分离后,将在重力作用下做匀加速直线运动。根据系统的对称性,可知球2、3、4运动速率相同,速度方向沿
中心O到各顶点
(i=1、2、3)连线的延长线方向。如图丁所示,设
的向下速度为
,
沿
方向的速度为
,直角三角形
中的
用
代表,
角的初始值
应满足
,而后
角减小。假设
角小到某值时,球1与其余3个小球之间的正压力N为零,则彼此将分离。此时随
一起运动的参考系为惯性系,
相对
的速度为
。
因球1与球2尚未分离,故仍有
。
的条件为球1相对球2运动的向心力恰好为球1所受重力的分力,即有
。
与上式联立,可解得
,
。
此时球1下降高度为。
据机械能守恒,有
。
将、
表述式代入,可解得
。
代入表述式后,可得
。
球1与下面3个小球分离后,即做自由落体运动。球1与桌面相遇时的速度u与初速度间的关系为
,
其中h为下落高度,应有:。
最后可算得球1碰到桌面时的速度为。
