Question

【题目】导体质量为、长为，两端借助两根同样的导电轻弹簧悬挂在电介体上，弹簧总劲度系数为.电容为 的电容器接在两弹簧上端.整个结构挂在垂直结构平面、磁感强度为的均匀磁场中，如图所示.让导体在竖直面上离开平衡位置再放下.试确定导体在竖直面上将怎样运动？导体电阻、自感和电容不计.

Answer 1

【答案】取x轴为竖直向下方向，坐标原点为杆的平衡位置。振幅A等于杆初始时刻的位移，于是任何时刻有

【解析】

取轴为竖直向下方向，坐标原点为杆的平衡位置（图示）.设在这个位置每根弹簧的增长量均为，根据牛顿第二运动定律有.

当杆离开平衡位置移动时，它开始做加速运动，其加速度指向平衡位置.同时杆中产生感应电动势，电路中出现电流，电容器开始充电.由于导电弹簧电阻为零，电容器上电压等于并且电容器上电量等于.因此，在任何时刻电路中电流为

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磁场中带电杆受到安培力作用，即

安培力什么方向？为了确定起见，设磁场方向垂直纸面向外，当杆竖直向上运动时杆中感生电动势方向从左向右.在杆位于平衡位置下方情况下，杆中电流方向与感应电动势方向一致，于是电容器充电.同时力向下，即与杆加速度的方向相反.在杆出现在平衡位置上方情况下，感生电动势方向保持不变，但是杆的速度以及感生电动势减小.这时电容器放电，杆中电流改变方向，因而力也改变方向，现在它的方向向上，即又与加速度方向相反.可见

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根据牛顿第二定律列出杆的运动方程：

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整理得：.

这是简谐振动方程，其振动频率为

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振幅等于杆初始时刻的位移，于是任何时刻有.

在磁场中做切割磁场线运动的金属杆与电容构成回路的模型有很多种，本题只是其中的代表.

本类试题不论怎样构造模型，其共性特征是，电容器的充放电电流引起的安培力与金属杆运动的加速度之间满足.这一关系的临场推导是这类试题的主要障碍，且试题多以此为问题的切入点，进而讨论相关的问题.