1. 如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90° $。
(1) $ ∠ A $ 的对边为
(2) 如果 $ AB = 5 $，$ BC = 4 $，那么 $ \tan A = $
(1) $ ∠ A $ 的对边为
BC
，$ ∠ A $ 的邻边为 AC
；$ ∠ B $ 的对边为 AC
，$ ∠ B $ 的邻边为 BC
；(2) 如果 $ AB = 5 $，$ BC = 4 $，那么 $ \tan A = $
4/3
，$ \tan B = $3/4
。答案：
(1) BC；AC；AC；BC
(2) 4/3；3/4
(1) BC；AC；AC；BC
(2) 4/3；3/4
解析：
(1) 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的对边是BC，邻边是AC；∠B的对边是AC，邻边是BC。
(2) 已知AB=5，BC=4，由勾股定理得AC=√(AB²-BC²)=√(5²-4²)=3。tanA=∠A的对边/∠A的邻边=BC/AC=4/3；tanB=∠B的对边/∠B的邻边=AC/BC=3/4。
(2) 已知AB=5，BC=4，由勾股定理得AC=√(AB²-BC²)=√(5²-4²)=3。tanA=∠A的对边/∠A的邻边=BC/AC=4/3；tanB=∠B的对边/∠B的邻边=AC/BC=3/4。
2. 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90° $，如果各边长度都扩大 $ 2 $ 倍，那么锐角的正切值 (
A.没有变化
B.扩大 $ 2 $ 倍
C.缩小 $ 2 $ 倍
D.不能确定
A
)A.没有变化
B.扩大 $ 2 $ 倍
C.缩小 $ 2 $ 倍
D.不能确定
答案：A
解析：
在直角三角形中，正切值定义为对边与邻边的比值。设原三角形 $ △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90° $，$ AC = b $，$ BC = a $，则 $ \tan ∠ A = \frac{a}{b} $。若各边长度都扩大 $ 2 $ 倍，则新的三角形中 $ AC' = 2b $，$ BC' = 2a $，所以 $ \tan ∠ A' = \frac{2a}{2b} = \frac{a}{b} $。因此，正切值没有变化。
3. 在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90° $。
(1) 若 $ AC : BC = 1 : 2 $，则 $ \tan A = $
(2) 若 $ AC : AB = 1 : 2 $，则 $ \tan A = $
(1) 若 $ AC : BC = 1 : 2 $，则 $ \tan A = $
2
，$ \tan B = $1/2
；(2) 若 $ AC : AB = 1 : 2 $，则 $ \tan A = $
√3
，$ \tan B = $√3/3
。答案：2；1/2；√3；√3/3
解析：
(1) 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC:BC=1:2，设AC=k，BC=2k。
tanA=BC/AC=2k/k=2；tanB=AC/BC=k/(2k)=1/2。
(2) AC:AB=1:2，设AC=m，AB=2m。由勾股定理得BC=√(AB²-AC²)=√(4m²-m²)=√3m。
tanA=BC/AC=√3m/m=√3；tanB=AC/BC=m/(√3m)=1/√3=√3/3。
tanA=BC/AC=2k/k=2；tanB=AC/BC=k/(2k)=1/2。
(2) AC:AB=1:2，设AC=m，AB=2m。由勾股定理得BC=√(AB²-AC²)=√(4m²-m²)=√3m。
tanA=BC/AC=√3m/m=√3；tanB=AC/BC=m/(√3m)=1/√3=√3/3。
4. 如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90° $，$ BC = 2 $，$ \tan A = \dfrac{1}{2} $，则 $ AC $ 的长为 (
A.$ 4 $
B.$ 8 $
C.$ 2\sqrt{5} $
D.$ 4\sqrt{5} $
A
)A.$ 4 $
B.$ 8 $
C.$ 2\sqrt{5} $
D.$ 4\sqrt{5} $
答案：A
解析：
在直角三角形 $ △ ABC $ 中，已知 $ ∠ C = 90° $，$ BC = 2 $，$ \tan A = \frac{1}{2} $。
根据正切的定义，$\tan A = \frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}} = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{2}$。
设 $ AC = x $，则 $ BC = 2 $，$\frac{2}{x} = \frac{1}{2}$，解得 $ x = 4 $。
因此，$ AC = 4 $。
根据正切的定义，$\tan A = \frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}} = \frac{BC}{AC} = \frac{1}{2}$。
设 $ AC = x $，则 $ BC = 2 $，$\frac{2}{x} = \frac{1}{2}$，解得 $ x = 4 $。
因此，$ AC = 4 $。
5. 如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ ACB = 90° $，$ CD ⊥ AB $，$ \tan ∠ DCB = \dfrac{3}{4} $，$ AC = 12 $，则 $ BC = $
9
。答案：9
解析：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDB=90°。
∵∠A+∠B=90°，∠DCB+∠B=90°，∴∠A=∠DCB。
∵tan∠DCB=3/4，∴tan∠A=tan∠DCB=3/4。
在Rt△ABC中，tan∠A=BC/AC，AC=12，∴BC/12=3/4，解得BC=9。
∵∠A+∠B=90°，∠DCB+∠B=90°，∴∠A=∠DCB。
∵tan∠DCB=3/4，∴tan∠A=tan∠DCB=3/4。
在Rt△ABC中，tan∠A=BC/AC，AC=12，∴BC/12=3/4，解得BC=9。
6. （教材 $ \mathrm{P}4 $ 练习 $ \mathrm{T}2 $·改编）如图，某人从山脚下的点 $ A $ 处出发，走了 $ 200 \mathrm{ m} $ 后到达山顶 $ B $，已知山顶 $ B $ 到山脚的垂直距离 $ BD $ 是 $ 120 \mathrm{ m} $，求山的坡度。
答案：解：在Rt△ABD中，AB=200m，BD=120m，
由勾股定理得：AD=$\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{200^2-120^2}=160$m，
山的坡度i=BD:AD=120:160=3:4。
答：山的坡度为3:4。
由勾股定理得：AD=$\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{200^2-120^2}=160$m，
山的坡度i=BD:AD=120:160=3:4。
答：山的坡度为3:4。
7. 如图，某人从山脚下沿着坡度 $ i = 1 : \sqrt{3} $ 的山坡向山顶走了 $ 1000 \mathrm{ m} $，则他在竖直方向上升了
500
$ \mathrm{m} $。答案：500
解析：
由题意知，坡度 $ i = 1 : \sqrt{3} $，即高度变化与水平距离变化的比为 $ 1 : \sqrt{3} $。
设高度上升为 $ h $ 米，水平距离为 $ \sqrt{3}h $ 米，根据勾股定理，有：
$(\sqrt{3}h)^2 + h^2 = 1000^2$，
$3h^2 + h^2 = 1000000$，
$4h^2 = 1000000$，
$h^2 = 250000$，
$h = 500$，
因此，他在竖直方向上升了 500 米。
设高度上升为 $ h $ 米，水平距离为 $ \sqrt{3}h $ 米，根据勾股定理，有：
$(\sqrt{3}h)^2 + h^2 = 1000^2$，
$3h^2 + h^2 = 1000000$，
$4h^2 = 1000000$，
$h^2 = 250000$，
$h = 500$，
因此，他在竖直方向上升了 500 米。
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