同步精练广东人民出版社八年级数学北师大版深圳专版
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12. 将直角三角形三条边的长度同时扩大相同的倍数后得到的三角形（
A
）
A. 仍是直角三角形
B. 可能是锐角三角形
C. 可能是钝角三角形
D. 不可能是直角三角形答案：A
解析：设原三边为a、b、c，$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，扩大k倍后为ka、kb、kc，$(ka)^{2}+(kb)^{2}=k^{2}(a^{2}+b^{2})=k^{2}c^{2}=(kc)^{2}$，仍是直角三角形，故选A。
解析：设原三边为a、b、c，$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，扩大k倍后为ka、kb、kc，$(ka)^{2}+(kb)^{2}=k^{2}(a^{2}+b^{2})=k^{2}c^{2}=(kc)^{2}$，仍是直角三角形，故选A。
13. △ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件：①∠A=∠B - ∠C；②∠A：∠B：∠C=3：4：5；③$a^{2}=(b + c)(b - c)$；④a：b：c=5：12：13。其中能判定△ABC是直角三角形的有（
C
）答案：C
解析：①∠A+∠C=∠B，∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠B=180°，∠B=90°，是直角三角形；②∠C=180°×$\frac{5}{3 + 4 + 5}=75°$，不是直角三角形；③$a^{2}=b^{2}-c^{2}$，即$a^{2}+c^{2}=b^{2}$，是直角三角形；④$5^{2}+12^{2}=13^{2}$，是直角三角形，共3个，故选C。
解析：①∠A+∠C=∠B，∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠B=180°，∠B=90°，是直角三角形；②∠C=180°×$\frac{5}{3 + 4 + 5}=75°$，不是直角三角形；③$a^{2}=b^{2}-c^{2}$，即$a^{2}+c^{2}=b^{2}$，是直角三角形；④$5^{2}+12^{2}=13^{2}$，是直角三角形，共3个，故选C。
14. （1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11，
（2）若第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，则后两个数用含a的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律：$4=\frac{3^{2}-1}{2}$，$12=\frac{5^{2}-1}{2}$，$24=\frac{7^{2}-1}{2}$……于是他很快表示出了第二个数为$\frac{a^{2}-1}{2}$，则用含a的代数式表示第三个数为
（3）用所学知识说明（2）中用字母a表示的三个数是勾股数。
证明：$a^{2}+(\frac{a^{2}-1}{2})^{2}=a^{2}+\frac{a^{4}-2a^{2}+1}{4}=\frac{4a^{2}+a^{4}-2a^{2}+1}{4}=\frac{a^{4}+2a^{2}+1}{4}=(\frac{a^{2}+1}{2})^{2}$，∴a，$\frac{a^{2}-1}{2}$，$\frac{a^{2}+1}{2}$是勾股数。
60
，61
。（2）若第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，则后两个数用含a的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律：$4=\frac{3^{2}-1}{2}$，$12=\frac{5^{2}-1}{2}$，$24=\frac{7^{2}-1}{2}$……于是他很快表示出了第二个数为$\frac{a^{2}-1}{2}$，则用含a的代数式表示第三个数为
$\frac{a^{2}+1}{2}$
。（3）用所学知识说明（2）中用字母a表示的三个数是勾股数。
证明：$a^{2}+(\frac{a^{2}-1}{2})^{2}=a^{2}+\frac{a^{4}-2a^{2}+1}{4}=\frac{4a^{2}+a^{4}-2a^{2}+1}{4}=\frac{a^{4}+2a^{2}+1}{4}=(\frac{a^{2}+1}{2})^{2}$，∴a，$\frac{a^{2}-1}{2}$，$\frac{a^{2}+1}{2}$是勾股数。
答案：（1）60；61
（2）$\frac{a^{2}+1}{2}$
（3）证明：$a^{2}+(\frac{a^{2}-1}{2})^{2}=a^{2}+\frac{a^{4}-2a^{2}+1}{4}=\frac{4a^{2}+a^{4}-2a^{2}+1}{4}=\frac{a^{4}+2a^{2}+1}{4}=(\frac{a^{2}+1}{2})^{2}$，∴a，$\frac{a^{2}-1}{2}$，$\frac{a^{2}+1}{2}$是勾股数。
（2）$\frac{a^{2}+1}{2}$
（3）证明：$a^{2}+(\frac{a^{2}-1}{2})^{2}=a^{2}+\frac{a^{4}-2a^{2}+1}{4}=\frac{4a^{2}+a^{4}-2a^{2}+1}{4}=\frac{a^{4}+2a^{2}+1}{4}=(\frac{a^{2}+1}{2})^{2}$，∴a，$\frac{a^{2}-1}{2}$，$\frac{a^{2}+1}{2}$是勾股数。
15. 如图，正方形ABCD由9个边长为1的小正方形组成，每个小正方形的顶点都叫格点，连接AE，AF，则∠EAF=
45
°。答案：45
解析：设小正方形边长为1，AE=$\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$，AF=$\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}$，EF=$\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$，$AE^{2}+EF^{2}=5 + 5=10=AF^{2}$，△AEF是等腰直角三角形，∠EAF=45°。
解析：设小正方形边长为1，AE=$\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$，AF=$\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}$，EF=$\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$，$AE^{2}+EF^{2}=5 + 5=10=AF^{2}$，△AEF是等腰直角三角形，∠EAF=45°。
16. 如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，根据安全标准需满足BC⊥CD，观测得AB=CD=6dm，BC=3dm，AD=9dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接（即∠ABD=90°），通过计算说明该车是否符合安全标准。
答案：符合安全标准
解析：在Rt△ABD中，BD=$\sqrt{AD^{2}-AB^{2}}=\sqrt{9^{2}-6^{2}}=\sqrt{81 - 36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}dm$，在△BCD中，$BC^{2}+CD^{2}=3^{2}+6^{2}=9 + 36=45=BD^{2}$，∴BC⊥CD，符合安全标准。
解析：在Rt△ABD中，BD=$\sqrt{AD^{2}-AB^{2}}=\sqrt{9^{2}-6^{2}}=\sqrt{81 - 36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}dm$，在△BCD中，$BC^{2}+CD^{2}=3^{2}+6^{2}=9 + 36=45=BD^{2}$，∴BC⊥CD，符合安全标准。
17.新考向 推理能力 我们在课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”。王老师给学生发现这些勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41……学生发现：这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断，于是王老师提出以下问题让学生解决。
(1)请你根据上述规律写出下一组勾股数：11，
(2)若第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，则后两个数用含a的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律：4=$\frac{3^2 - 1}{2}$，12=$\frac{5^2 - 1}{2}$，24=$\frac{7^2 - 1}{2}$……于是他很快表示出了第二个数为$\frac{a^2 - 1}{2}$，则用含a的代数式表示第三个数为
(3)用所学知识说明(2)中用字母a表示的三个数是勾股数。
证明：$a^2 + \left(\frac{a^2 - 1}{2}\right)^2 = a^2 + \frac{a^4 - 2a^2 + 1}{4} = \frac{4a^2 + a^4 - 2a^2 + 1}{4} = \frac{a^4 + 2a^2 + 1}{4} = \left(\frac{a^2 + 1}{2}\right)^2$，所以$a$，$\frac{a^2 - 1}{2}$，$\frac{a^2 + 1}{2}$是勾股数。
(1)请你根据上述规律写出下一组勾股数：11，
60
，61
.(2)若第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，则后两个数用含a的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律：4=$\frac{3^2 - 1}{2}$，12=$\frac{5^2 - 1}{2}$，24=$\frac{7^2 - 1}{2}$……于是他很快表示出了第二个数为$\frac{a^2 - 1}{2}$，则用含a的代数式表示第三个数为
$\frac{a^2 + 1}{2}$
.(3)用所学知识说明(2)中用字母a表示的三个数是勾股数。
证明：$a^2 + \left(\frac{a^2 - 1}{2}\right)^2 = a^2 + \frac{a^4 - 2a^2 + 1}{4} = \frac{4a^2 + a^4 - 2a^2 + 1}{4} = \frac{a^4 + 2a^2 + 1}{4} = \left(\frac{a^2 + 1}{2}\right)^2$，所以$a$，$\frac{a^2 - 1}{2}$，$\frac{a^2 + 1}{2}$是勾股数。
答案：(1)60，61
(2)$\frac{a^2 + 1}{2}$
(3)证明：$a^2 + \left(\frac{a^2 - 1}{2}\right)^2 = a^2 + \frac{a^4 - 2a^2 + 1}{4} = \frac{4a^2 + a^4 - 2a^2 + 1}{4} = \frac{a^4 + 2a^2 + 1}{4} = \left(\frac{a^2 + 1}{2}\right)^2$，所以$a$，$\frac{a^2 - 1}{2}$，$\frac{a^2 + 1}{2}$是勾股数。
(2)$\frac{a^2 + 1}{2}$
(3)证明：$a^2 + \left(\frac{a^2 - 1}{2}\right)^2 = a^2 + \frac{a^4 - 2a^2 + 1}{4} = \frac{4a^2 + a^4 - 2a^2 + 1}{4} = \frac{a^4 + 2a^2 + 1}{4} = \left(\frac{a^2 + 1}{2}\right)^2$，所以$a$，$\frac{a^2 - 1}{2}$，$\frac{a^2 + 1}{2}$是勾股数。