Question

（2011?东城区一模）如图所示的电路中，电源两端的电压保持不变．闭合开关S、S₁，当滑片P移至滑动变阻器R₂的A端时，电压表V₁的示数为U₁，电压表V₂的示数为U₂，电流表A的示数为I₁，滑动变阻器R₂消耗的电功率P₂为3W．当只闭合开关S，将滑片P移至滑动变阻器R₂的中点时，电压表V₁的示数为U₁′，电压表V₂的示数为U₂′，电流表A的示数为I₂．闭合开关S、S₁，当滑片P移至滑动变阻器R₂的B端时，电流表A的示数为I₃，电阻R₃的电功率为P₃．
已知U₁=

4

5

U₁′，U₂=4U₂′．求：
（1）电流I₁与I₂的比值．
（2）电功率P₃的大小．
（3）通过断开、闭合开关及移动滑动变阻器滑片P，电路所消耗的最小电功率P_min．（结果保留1位小数）

Answer 1

分析：（1）先画出开关闭合和断开、滑动变阻器处于不同位置时的等效电路图；根据串联电路的特点和欧姆定律求出图1和图2中通过R₃的电流关系，从而求出电流I₁与I₂的比值．
（2）根据串联电路的特点和欧姆定律分别求出图1和图2中R₂两端的电压，利用U₁=

4

5

U₁′求出R₁、R₂两电阻之间的关系；根据电源的电压不变求出R₂、R₃之间的关系；利用电源的电压不变求出图3中的电流，最后根据P=I²R和图1中R₂的功率求出电功率P₃的大小．
（3）根据P=

U2

R

可知当滑动变阻器处于最大阻值处且三电阻串联时，电路中的总电阻最大，电路所消耗的电功率最小，画出等效电路图，进一步利用串联电路的特点和电功率公式求出电路所消耗的最小电功率．

解答：解：当P在A端，闭合S、S₁时，等效电路如图1；当P在中点，闭合S、断开S₁时，等效电路如图2；当P在B端，闭合S、S₁时，等效电路如图3．

（1）由图1和图2可知

I1

I2

=

U2 R3

U 2 ′ R3

=

U2

U ′ 2

=

4

1

--------①
（2）由图1可知R₂两端的电压为U₁=I₁R₂--------------②
由图2可知R₂两端的电压为U₁′=I₂（

R2

2

+R₁）----③
已知U₁=

4

5

U₁′----------------------------④
由①②③④可得：2R₁=9R₂---------------⑤
因电源电压不变，所以U=I₁（R₃+R₂）------⑥
U=I2(R3+

R2

2

+R1)------------------⑦
由①⑤⑥⑦可得：R₂=3R₃，
当P在A端，都S、S₁闭合时：P₂=I₁²R₂-------⑧
当P在B端，都S、S₁闭合时：P₃=I₃²R₃-----------⑨
因电源的电压不变，所以U=I₁（R₂+R₃）=I₃R₃，
解得

I1

I3

=

1

4

---------------------------⑩
联立⑧⑨⑩解得：P₃=

16

3

P₂=16W．
（3）当电路消耗的电功率最小时，电路中的总电阻最大，即P在A端，S闭合、S₁断开，等效电路图如图4．

此时电路的最小电功率为：
Pmin=

U2

(R1+R2+R3)

=

U2

( 9 2 ×3R3+3R3+R3)

=

2U2

35R3

=

2

35

P₃≈0.9W．
答：（1）电流I₁与I₂的比值为4：1；
（2）电功率P₃的大小为16W；
（3）电路所消耗的最小电功率约为0.9W．

点评：本题目难度很大，需要学生先化简电路图，就开关断开闭合时画出合适的电路图，并且结合电功率公式及其相关的比例关系，利用数学知识解决相关知识点．