Question

将一根粗细均匀、质量为M的铁丝弯成直角，直角边边长之比AC：BC=m：n（m＞n），将直角顶点C固定，如图所示，当直角铁丝静止时，BC边与竖直方向的夹角为θ，则sinθ=

m2

m4+n4

m4+n4

，若在B点悬挂一物体，将使θ=45°，则该物体的质量为

m-n

2n

M

．

Answer 1

分析：（1）两边铁丝的重心分别在中点，两边质量之比等于长度之比，可求两边重力之比；求出两边力臂之比，根据杠杆平衡条件求sinθ的大小；
（2）在B点悬挂一物体，有杠杆平衡条件可知G_a×

1

2

AC×cosθ=G_b×

1

2

BC×sinθ+G_C×BC×sinθ，将θ=45°、两边铁丝的质量（知道大小之比，利用赋值法得出）代入求得在B点所挂物体c的质量．

解答：解：
（1）如图，两边的重心分别在中点，质量之比等于长度之比，
即：m_a：m_b=AC：BC=m：n，
重力之比：
G_a：G_b=m_ag：m_bg=m_a：m_b=m：n，
左边力臂：
L_a=

1

2

AC×cosθ，
右边力臂：
L_b=

1

2

BC×sinθ，
由杠杆平衡条件可知：
G_a×L_a=G_b×L_b，
即：G_a×

1

2

AC×cosθ=G_b×

1

2

BC×sinθ，
∴sinθ=

GaAC

GbBC

×cosθ=

m2

n2

1- (sinθ)2

，
解得：
sinθ=

m2

m4+n4

=

m2

m4+n4

m4+n4

；
（2）在B点悬挂一物体，θ=45°，如右图，
G_a×

1

2

AC×cosθ=G_b×

1

2

BC×sinθ+G_C×BC×sinθ，
即：G_a×

1

2

AC×

2

2

=G_b×

1

2

BC×

2

2

+G_C×BC×

2

2

，
∴G_a×AC=G_b×BC×+2G_C×BC，
∴m_a×m=m_b×n×+2m_C×n，---------①
∵m_a：m_b=m：n，总质量为M，
∴m_a=

m

m+n

M，m_b=

n

m+n

M，代入①式得：
m_c=

m-n

2n

M．
故答案为：

m2

m4+n4

m4+n4

；

m-n

2n

M．

点评：本题考查了学生对杠杆平衡条件的掌握和运用，能画出杠杆示意图、利用好数学知识是本题的关键，属于难题．