Question

【题目】一个薄壁圆柱形容器放在水平桌面上，如图1所示，容器中立放着一个均匀实心圆柱体A，现慢慢向容器中加水（已知水的密度为ρ水），加入的水对容器底部的压强p与所加水的质量m的关系图象如图3所示，容器足够高，在整个过程中无水溢出，A的底面始终与容器中的水面平行，当加入水的质量为m1时，圆柱体A露出水面的高度为h0 ， 如图2所示．求：
（1）圆柱体的高度；
（2）圆柱体的密度；
（3）薄壁圆柱形容器的底面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：由图3可知，当加入水的质量为m1时，水对容器底部的压强为p1，

由p=ρgh可得，此时水的深度：h1= ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①

由题知，此时圆柱体A露出水面的高度为h0，

则圆柱体的高度：hA=h1+h0= +h0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②

答：圆柱体的高度为 +h0；

（2）解：根据图3可知，加入水的质量大于m1时，水对容器底部的压强增大得更缓慢一些，说明加入水的质量为m1时圆柱体刚好处于漂浮状态，此后继续加水，圆柱体缓慢上升；

圆柱体刚好漂浮时，由漂浮条件可得：F浮=GA，

结合阿基米德原理可得：ρ水gV排=ρAVAg，

则ρ水gSAh1=ρASAhAg，

所以ρA= ρ水﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣③

将①②代入③可得：

ρA= ρ水= ρ水= ρ水；

答：圆柱体的密度为 ρ水；

（3）解：由图3可知，加入水的质量为m1与m2时对应水的压强分别为p1、p2，

则该过程中水的质量变化量为△m=m2﹣m1，水的压强变化量为△p=p2﹣p1，

因圆柱体在该过程中处于漂浮状态，由压强定义式可得△p= ，

所以，圆柱形容器的底面积：

S= = = = ．

答：薄壁圆柱形容器的底面积为 ．

【解析】（1）当加入水的质量为m1时，圆柱体A露出水面的高度为h0 ， 由图读出此时水的压强，利用p=ρgh求出水的深度，则可求出圆柱体的高度；（2）根据图象可知，加入水的质量为m1后，水对容器底部的压强增大得更缓慢一些，说明加入水的质量为m1时圆柱体刚好处于漂浮状态，利用漂浮条件和阿基米德原理列出等式可求出圆柱体的密度；（3）由图象可知，加入水的质量为m1与m2时对应水的压强分别为p1、p2 ， 根据该过程中压强的变化量、所加水的质量变化量，利用△p= = 求出容器的底面积．
【考点精析】掌握密度的计算是解答本题的根本，需要知道密度公式：ρ = m/v．