Question

如图：AB为一根均匀轻质杆，杆的中点O点悬挂在天花板上，在杆的A端悬挂有一端开口、粗细均匀、重2N的薄壁玻璃管，管长L=40cm，管底面积S=20cm²，管中装满水后倒扣在装有水深h=10cm的水槽中，玻璃管管口刚好被水面淹没，在杠杆的B端通过滑轮组用轻质细绳相连，动滑轮下端挂有一个钩码，在滑动组的另一端细绳上挂有一体积为10³cm³的实心均匀圆球，当圆球体积的一半浸没在水中时，杠杆恰好在水平位置平衡．已知大气压强P₀=10⁵Pa，动滑轮重1N，细绳的重量和细绳与滑轮间的摩擦忽略不计，g=10N/kg． 求：
（1）钩码重多少牛顿？
（2）圆球的密度是多少kg/m³？
（3）假如大气压强逐渐减小到零的过程中，杠杆还能平衡吗？若不平衡，怎样倾斜，请分析说明．

Answer 1

解：（1）玻璃管A处于平衡状态，所以受到平衡力的作用，即向下的大气压力、玻璃管的重力与杠杆对A向上的拉力、大气压通过管内水柱对其向上的压力相互平衡；
由此可得：P₀S+G_玻-（P₀S-ρ_水gLS）=F_A，即：10⁵Pa×2×10^-3m²-2N-（10⁵Pa×2×10^-3m²-10³kg/m³×10N/kg×0.4m×2×10^-3m²）=F_A．
求得：F_A=10N，
又因为杠杆处于平衡状态，所以F_A?OA=F_B?OB，又OA=OB
所以F_B=F_A=10N，
根据动滑轮的省力公式：F_B=（G_动+G_钩）
变形得：G_钩=2F_B-G_动=2×10N-1N=19N．
（2）由圆球处于平衡状态得：G_球=F_浮+F_绳
由于是同一根绳子，所以F_绳=F_B=10N，
即：ρ_球gV_球=ρ_水g+F_B；
代入数据：ρ_球×10N/kg×10^-3m³=10³kg/m³×10N/kg×0.5×10^-3m³+10N，
求得：ρ_球=1.5×10³kg/m³．
（3）玻璃管处于平衡状态时：P₀S+G_玻-（P₀S-ρ_水gLS）=F_A，
化简得：G_玻+ρ_水gLS=F_A，
其中的ρ_水gLS是由于大气压造成的，因此：
当①当P₀≥ρ_水gL时，F_A=G_玻+ρ_水gLS=10N，杠杆仍平衡．
当②当P₀＜ρ_水gL时，F_A=G_玻+P₀S＜10N，杠杆失去平衡，B端下降．
答：（1）钩码重19N；（2）圆球的密度是1.5×10³kg/m³．（3）不再平衡，将向B端倾斜．
分析：（1）钩码的重力可以利用作用在杠杆B端的拉力结合动滑轮的重力，利用动滑轮的省力公式：F_B=（G_动+G_钩）来求得．而作用在B端的拉力可以利用杠杆的平衡条件去求得．
因此首先要知道作用在杠杆A端的力，这个力是由玻璃管提供的，从玻璃管现在所处的状态入手，求出作用在A端的力，从而可以解决此题．
（2）告诉了圆球的体积，要求圆球的密度，因此首先要求得圆球的重力．从圆球对动滑轮的拉力来求得圆球的重力．
（3）大气压的变化，决定了玻璃管受到的力的变化，只要玻璃管还处于平衡状态，杠杆就保持平衡，因此从玻璃管受力的情况的平衡方程，结合大气压的变化入手分析即可解决此题．
点评：此题涉及了：浮力的计算、杠杆的平衡条件、动滑轮的省力情况、大气压强、压力的计算等多个知识点．过程复杂，要求学生要有较强的逻辑思维能力．
解决此题时，可以从未知量入手分析，直到已知量为止．
能够根据物体处于平衡状态，得到力的方程是解决此题的关键．