Question

（2012?黄石）为了迎接黄石市第二届矿冶文化节和第三届国际乒乓节，某庆典公司正在调试载人热气球．已知载人热气球球内热气的体积为200m³，球内热气的密度为0.29kg/m³，球外空气的密度为1.29kg/m³，球壳、吊篮及其装备的总质量为120kg，吊篮里的人的质量为58kg，g取10N/kg．
（1）要使热气球和人能够静止在空中，需要在吊篮里加入多少质量的配重？（由于热气的体积远大于其他部分的体积，故只考虑热气所受的浮力．）
（2）若气球静止于离地h=10m的空中，人需要沿着绳子下滑到地面．如果人以相对地的速度v₁=2m/s匀速下滑，根据反冲运动知识可知，人在下滑过程中，气球会以v₂的速度上升，设人的质量为m，气球的总质量（包括热空气、球壳、吊篮以及装备和配重）为M，则他们的关系满足mv₁=Mv₂，若在人着陆时，绳子的末端刚好接触地面，求绳子的长度．
（3）气球在上浮的过程中，空气的浮力是否对气球做了功？如果没有做功，请说明理由．如果做了功，求浮力做功的功率．

Answer 1

分析：（1）由于热气球和人静止在空中，根据悬浮条件可得F_浮=G_气+G_人+G_吊篮+G_配重，据此求配重的重力，再利用重力公式求配重的质量；
（2）由题知，Mg=G_气+G_吊篮+G_配重，据此求气球的总质量，因为mv₁=Mv₂，可求气球的上升速度v₂，知道人以相对地的速度，利用速度公式求下滑时间t，可求气球上浮的距离s，则绳长L=h+s；
（3）根据做功的必要条件判断浮力是否做功，求出浮力，知道上浮的高度，利用W=Fs求浮力做功．

解答：解：
（1）∵热气球和人静止在空中，
∴F_浮=G_气+G_人+G_吊篮+G_配重，
∴G_配重=F_浮-（G_气+G_人+G_吊篮）
=ρ_空气Vg-（ρ_热气Vg+58kg×10N/kg+120kg×10N/kg）
=1.29kg/m³×200m³×10N/kg-（0.29kg/m³×200m³×10N/kg+58kg×10N/kg+120kg×10N/kg）
=220N，
m_配重=

G配重

g

=

220N

10N/kg

=22kg；
（2）∵Mg=G_气+G_吊篮+G_配重，
即：M×10N/kg=0.29kg/m³×200m³×10N/kg+120kg×10N/kg+220N，
∴M=200kg
由mv₁=Mv₂得
v₂=0.58m/s，
t=

h

v1

=

10m

2m/s

=5s，
气球上浮的距离s=v₂t=0.58m/s×5s=2.9m，
绳长L=h+s=10m+2.9m=12.9m；
（3）气球在浮力的方向上移动了距离，浮力做了功，
F_浮=ρ_空气Vg=1.29kg/m³×200m³×10N/kg=2580N，
P=F_浮v₂=2580N×0.58m/s=1496.4W．
答：（1）要使热气球和人能够静止在空中，需要在吊篮里加入22kg的配重；
（2）绳子的长度为12.9m；
（3）浮力做功的功率为1496.4W．

点评：本题为力学综合题，考查了学生对密度公式、阿基米德原理、做功的必要条件、功的公式、速度公式的掌握和运用，知识点多、综合性强，要求灵活运用所学知识求解．