【题目】如图，等边三角形ABC的边长为8cm，动点P从点A出发以秒的速度沿AC方向向终点C运动，同时动点Q从点C出发以秒的速度沿CB方向向终点B运动，过点P、Q分别作边AB的垂线段PM、QN，垂足分别为点M、设P、Q两点运动时间为t秒，四边形MNQP的面积为．

为何值时，为等边三角形？

是否存在某一时刻t，使四边形MNQP的面积S等于的面积的？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

连接PN、QM交于点D，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

【题目】已知P为所在平面内一点，连接PA，PB，PC，在，和中，若存在一个三角形与相似全等除外那么就称P为的共相似点”根据“共相似点“是否落在三角形的内部，边上或外部，可将其分为内共相似点”，“边共相似点或“外共相似点”．

据定义可知，等边三角形______填“存在”或“不存在共相似点

（探究）用边共相似点探究三角形的形状

如图1，若的一个边共相似点P与其对角项点B的连线，将分割成的两个三角形恰与原三角形均相似，试判断的形状，并说明理由．

（探究2）用内共相似点探究三角形的内角关系

如图2，在中，，高线CD与角平分线BE交于点P，若P是的一个内共相似点试说明点E是的边共相似点，并直接写出的度数；

（探究）探究直角三角形共相似点的个数

如图3，在中，，，，若与相以，则满足条件的P点共有______个

求每张门票原定的票价；

在展览期间，平均每天可售出个人票2000张，现主办方决定对个人购票也采取优惠措施，发现原定票价每降低2元，平均每天可多售出个人票40张，若要使平均每天的个人票收入达到241500元，且能有效控制游览人数，则票价应降低多少元？

【题目】如图，中，，于点D，交AC于点E，过点C在外部作，于点连接EF．

求证：≌；

判断四边形DCFE的形状，并说明理由．

【题目】已知函数．

（1）请在平面直角坐标系中画出该函数的图象，

（2）若点在该函数图象上，且当时，，求的取值范围．

表中a的值等于______；

估算口袋中白球的个数；

用画树状图或列表的方法计算连续两名同学都摸出白球的概率．

【题目】某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是　　

A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”

B. 暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球

C. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4

D. 掷一枚一元硬币，落地后正面朝上

【题目】对于给定的两个函数和，在这里我们把叫做这两个函数的积函数，把直线和叫做抛物线的母线．

（1）直接写出函数和的积函数，然后写出这个积函数的图象与x轴交点的坐标．

（2）点P在（1）中的抛物线上，过点P垂直于x轴的直线分别交此抛物线的母线于M、N两点，设点P的横坐标为m，求时m的值．

（3）已知函数和．当它们的积函数自变量的取值范围是，且当时，这个积函数的最大值是8，求n的值以及这个积函数的最小值．

【题目】如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6．点P从点A出发，沿折现AB—BC向终点C运动，在AB上以每秒5个单位长度的速度运动，在BC上以每秒3个单位长度的速度运动．点Q从点C出发，沿CA方向以每秒个单位长度的速度运动．点P、Q两点同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止．设点P运动的时间为t秒．

（1）求线段AQ的长．（用含t的代数式表示）

（2）当PQ与△ABC的一边平行时，求t的值

（3）如图②，过点P作PE⊥AC于点E，以PE、QE为邻边作矩形PEQF，点D为AC的中点，连结DF．直接写出DF将矩形PEQF分成两部分的面积比为1:2时t的值．

小明和小丽共同探究一道数学题：

如图①，在△ABC中，点D是边BC的中点，∠BAD=65°，∠DAC=50°，AD=2，

求AC．

探索发现

小明的思路是：延长AD至点E，使DE=AD，构造全等三角形．

小丽的思路是：过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E，构造全等三角形．

选择小明、小丽其中一人的方法解决问题情境中的问题．

类比应用

如图②，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点O是BD的中点，

AB⊥AC．若∠CAD=45°，∠ADC=67.5°，AO=2，则BC的长为___________．