题目内容
如图1,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,BC=DC,∠BAD=120°
(1)求证:AB=AD;
(2)如图2,点M在边CD上(端点除外),点N在边BC上,∠MAN=∠BCD,连接MN
①试判断线段BN、NM、MD之间的数量关系,并给出证明;
②若CM=4,DM=1,则CN的长为 (请直接写出)
(1)求证:AB=AD;
(2)如图2,点M在边CD上(端点除外),点N在边BC上,∠MAN=∠BCD,连接MN
①试判断线段BN、NM、MD之间的数量关系,并给出证明;
②若CM=4,DM=1,则CN的长为
考点:全等三角形的判定与性质,含30度角的直角三角形,勾股定理
专题:
分析:(1)连接AC,利用“HL”证明Rt△ABC和Rt△ADC全等,再根据全等三角形对应边相等证明即可;
(2)①把△ADM绕点A顺时针旋转120°得到△ABH,根据旋转的性质可得AH=AM,BN=DM,∠BAH=∠DAM,根据四边形的内角和定理求出∠BCD=60°,然后求出求出∠NAH=60°,从而得到∠NAH=∠NAM,再利用“边角边”证明△AMN和△AHN全等,根据全等三角形对应边相等可得NM=NH,然后整理即可得解;
②连接AC,过点M作ME⊥AC于E,然后求出ME、CE、AC、AD,再求出AE,然后求出∠BAN=∠EAM,然后根据两组角对应相等,两三角形相似求出△ABN和△AEM相似,利用相似三角形对应边成比例列式求出BN,再根据CN=BC-BN代入数据进行计算即可得解.
(2)①把△ADM绕点A顺时针旋转120°得到△ABH,根据旋转的性质可得AH=AM,BN=DM,∠BAH=∠DAM,根据四边形的内角和定理求出∠BCD=60°,然后求出求出∠NAH=60°,从而得到∠NAH=∠NAM,再利用“边角边”证明△AMN和△AHN全等,根据全等三角形对应边相等可得NM=NH,然后整理即可得解;
②连接AC,过点M作ME⊥AC于E,然后求出ME、CE、AC、AD,再求出AE,然后求出∠BAN=∠EAM,然后根据两组角对应相等,两三角形相似求出△ABN和△AEM相似,利用相似三角形对应边成比例列式求出BN,再根据CN=BC-BN代入数据进行计算即可得解.
解答:(1)证明:连接AC,
在Rt△ABC和Rt△ADC中,
,
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL),
∴AB=AD;
(2)解:①如图,把△ADM绕点A顺时针旋转120°得到△ABH,
∴AH=AM,BN=MD,∠BAH=∠DAM,
在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,∠BAD=120°,
∴∠BCD=360°-90°×2-120°=60°,
∵∠MAN=∠BCD,
∴∠NAH=∠BAH+∠BAN=∠DAM+∠BAN=∠BAD-∠MAN=120°-60°=60°,
∴∠NAH=∠NAM,
在△AMN和△AHN中,
,
∴△AMN≌△AHN(SAS),
∴NM=NH,
∵NH=BN+BH=BN+DM,
∴NM=BN+DM;
②连接AC,过点M作ME⊥AC于E,
∵Rt△ABC≌Rt△ADC,∠BCD=60°,
∴∠ACD=
×60°=30°,
∴ME=
CM=
×4=2,CE=CM•cos30°=4×
=2
,
AC=CD÷cos30°=(4+1)÷
=
,
AD=CD•tan30°=(4+1)•
=
,
∴AE=AC-CE=
-2
=
,
AB=AD=
,
∵∠BAN+∠CAN=90°-30°=60°,
∠EAM+∠CAN=∠MAN=60°,
∴∠BAN=∠EAM,
又∵∠B=∠AEM=90°,
∴△ABN∽△AEM,
∴
=
,
即
=
,
解得BN=
,
∴CN=BC-BN=DC-BN=(4+1)-
=
.
在Rt△ABC和Rt△ADC中,
|
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL),
∴AB=AD;
(2)解:①如图,把△ADM绕点A顺时针旋转120°得到△ABH,
∴AH=AM,BN=MD,∠BAH=∠DAM,
在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,∠BAD=120°,
∴∠BCD=360°-90°×2-120°=60°,
∵∠MAN=∠BCD,
∴∠NAH=∠BAH+∠BAN=∠DAM+∠BAN=∠BAD-∠MAN=120°-60°=60°,
∴∠NAH=∠NAM,
在△AMN和△AHN中,
|
∴△AMN≌△AHN(SAS),
∴NM=NH,
∵NH=BN+BH=BN+DM,
∴NM=BN+DM;
②连接AC,过点M作ME⊥AC于E,
∵Rt△ABC≌Rt△ADC,∠BCD=60°,
∴∠ACD=
1 |
2 |
∴ME=
1 |
2 |
1 |
2 |
| ||
2 |
3 |
AC=CD÷cos30°=(4+1)÷
| ||
2 |
10
| ||
3 |
AD=CD•tan30°=(4+1)•
| ||
3 |
5
| ||
3 |
∴AE=AC-CE=
10
| ||
3 |
3 |
4
| ||
3 |
AB=AD=
5
| ||
3 |
∵∠BAN+∠CAN=90°-30°=60°,
∠EAM+∠CAN=∠MAN=60°,
∴∠BAN=∠EAM,
又∵∠B=∠AEM=90°,
∴△ABN∽△AEM,
∴
BN |
EM |
AB |
AE |
即
BN |
2 |
| ||||
|
解得BN=
5 |
2 |
∴CN=BC-BN=DC-BN=(4+1)-
5 |
2 |
5 |
2 |
点评:本题考查了全等三角形的判定与性质,勾股定理的应用,相似三角形的判定与性质,(2)①难点在于利用旋转作出全等三角形,②难点在于作辅助线构造出相似三角形.
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函数y=
+x的图象是( )
|x| |
x |
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