Question

如图，AB为半圆的直径，O为圆心，AB=6，延长BA到F，使FA=AB，若P为线段AF上的一个动点（不与A重合），过P点作半圆的切线，切点为C，过B点作BE⊥PC交PC的延长线于E，设AC=x，AC+BE=y，求y与x的函数关系式及x的取值范围．

Answer 1

分析：求y与x的函数关系式，由题意发现需求出BE，通过证明Rt△ABC∽Rt△CBE即可；P为线段AF上的一个动点（不与A重合），C为切点，可知当P点与A点重合时，AC=0最小，当P点与F点重合时，x=AC最大，求出AC的值，即可确定x的取值范围．

解答：解：连接BC．
∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=90°，BC²=36-x²（2分）
又∵PC切⊙O于C∴∠BAC=∠BCE
∴Rt△ABC∽Rt△CBE（3分）
∴

AB

BC

=

BC

BE

即BE=

BC2

AB

=6-

x2

6

∴y=-

x2

6

+x+6（5分）
当P点与A点重合时，AC=0最小
∵P不与A重合，
∴x＞0（6分）
当P点与F点重合时，x=AC最大，此时有PC²=PA•PB=6×12
∴PC=6

2

又∵∠P=∠P，∠PBC=∠PCA
∴△PCA∽△PBC
∴

AC

CB

=

PC

PB

即

AC

BC

=

6 2

12

∴BC=

2

AC
由勾股定理得AC²+BC²=AB²，
即AC2+(

2

AC)2=36
∴AC=2

3

（9分）
∴函数关系式为y=-

x2

6

+x+6（0＜x≤2

3

）（10分）．

点评：本题考查求二次函数的关系式及取值范围，注意结合切线的性质，相似三角形的判断和性质探求解决的方法．