题目内容
【题目】如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC，△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP．
（1）直接写出AB与AP所满足的数量关系：_____，AB与AP的位置关系：_____；
（2）将△ABC沿直线l向右平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ，求证：AP=BQ；
（3）将△ABC沿直线l向右平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ，试探究AP=BQ是否仍成立？并说明理由．
【答案】（1）AB=AP，AB⊥AP；（2）证明见解析；（3）成立，理由见解析.
【解析】试题分析：（1）AB=AP，AB⊥AP，已知AC⊥BC且AC=BC，可得△ABC为等腰直角三角形，所以∠BAC=∠ABC=45°，根据已知条件易证∠PEF=45°，即可得∠BAP=90°，结论得证；（2）根据已知条件易证Rt△BCQ≌Rt△ACP，根据全等三角形的性质即可得结论；（3）结论仍成立，类比（2）方法证明即可．
试题解析：
（1）AB=AP；AB⊥AP；
证明：∵AC⊥BC且AC=BC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠ABC=
（180°﹣∠ACB）=45°，
易知，△ABC≌△EFP，
同理可证∠PEF=45°，
∴∠BAP=45°+45°=90°，
∴AB=AP且AB⊥AP；
故答案为：AB=AP AB⊥AP
（2）证明：
∵EF=FP，EF⊥FP
∴∠EPF=45°．
∵AC⊥BC，
∴∠CQP=∠EPF=45°
∴CQ=CP
在 Rt△BCQ和Rt△ACP中，
∴Rt△BCQ≌Rt△ACP （SAS）．
∴AP=BQ．
（3）AP=BQ成立，理由如下：
∵EF=FP，EF⊥FP，
∴∠EPF=45°．
∵AC⊥BC
∴∠CPQ=∠EPF=45°
∴CQ=CP
在 Rt△BCQ和Rt△ACP中，
∴Rt△BCQ≌Rt△ACP （SAS）．
∴AP=BQ．
