题目内容
【题目】已知反比例函数y=
（m为常数）的图象在一、三象限．
（1）求m的取值范围；
（2）如图，若该反比例函数的图象经过ABOD的顶点D，点A、B的坐标分别为（0，3），（﹣2，0）．
①求出函数解析式；
②设点P是该反比例函数图象上的一点，若OD=OP，则P点的坐标为 ；若以D、O、P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为 个．
【答案】（1）m＜
；
（2）①反比例函数解析式为y=
；
②P点的坐标为（﹣2，﹣3），（3，2），（﹣3，﹣2）；4
【解析】
试题分析：（1）根据反比例函数的性质得1﹣2m＞0，然后解不等式得到m的取值范围；
（2）①根据平行四边形的性质得AD∥OB，AD=OB=2，易得D点坐标为（2，3），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征得1﹣2m=6，则反比例函数解析式为y=
；
②根据反比例函数的图象关于原点中心对称可得点D关于原点的对称点P满足OP=OD，则此时P点坐标为（﹣2，﹣3）；再根据反比例函数y=
的图象关于直线y=x对称，可得点D（2，3）关于直线y=x对称点P满足OP=OD，此时P点坐标为（3，2），易得点（3，2）关于原点的对称点P也满足OP=OD，此时P点坐标为（﹣3，﹣2）；由于以D、O、P为顶点的三角形是等腰三角形，所以以D点为顶点可画出点P1，P2；以O点顶点可画出点P3，P4，如图．
试题解析：（1）根据题意得1﹣2m＞0，
解得m＜
；
（2）①∵四边形ABOD为平行四边形，
∴AD∥OB，AD=OB=2，
又∵A点坐标为（0，3），
∴D点坐标为（2，3），
∴1﹣2m=2×3=6，
∴反比例函数解析式为y=
；
②∵反比例函数y=
的图象关于原点中心对称，
∴当点P与点D关于原点对称，则OD=OP，此时P点坐标为（﹣2，﹣3），
∵反比例函数y=
的图象关于直线y=x对称，
∴点P与点D（2，3）关于直线y=x对称时满足OP=OD，
此时P点坐标为（3，2），
点（3，2）关于原点的对称点也满足OP=OD，
此时P点坐标为（﹣3，﹣2），
综上所述，P点的坐标为（﹣2，﹣3），（3，2），（﹣3，﹣2）；
由于以D、O、P为顶点的三角形是等腰三角形，则以D点为圆心，DO为半径画弧交反比例函数图象于点P1，P2，则点P1，P2满足条件；以O点为圆心，OD为半径画弧交反比例函数图象于点P3，P4，则点P3，P4也满足条件，如图，作线段OD的垂直平分线，与反比例函数的图象无交点．
