题目内容

【题目】如图,已知点A(3,0),以A为圆心作A与Y轴切于原点,与x轴的另一个交点为B,过B作A的切线l.

(1)以直线l为对称轴的抛物线过点A及点C(0,9),求此抛物线的解析式;

(2)抛物线与x轴的另一个交点为D,过D作A的切线DE,E为切点,求此切线长;

(3)点F是切线DE上的一个动点,当BFD与EAD相似时,求出BF的长.

【答案】(1)

(2)

(3)BF的长为

【解析】

试题分析:(1)已知了抛物线的顶点坐标,可将抛物线的解析式设为顶点坐标式,然后将C点坐标代入求解即可.

(2)由于DE是A的切线,连接AE,那么根据切线的性质知AEDE,在RtAED中,AE、AB是圆的半径,即AE=OA=AB=3,而A、D关于抛物线的对称轴对称,即AB=BD=3,由此可得到AD的长,进而可利用勾股定理求得切线DE的长.

(3)若BFD与EAD相似,则有两种情况需要考虑:①△AED∽△BFD,②△AED∽△FBD,根据不同的相似三角形所得不同的比例线段即可求得BF的长.

试题解析:(1)设抛物线的解析式为y=a(x6)2+k;

抛物线经过点A(3,0)和C(0,9),

解得:

(2)连接AE;

DE是A的切线,

∴∠AED=90°,AE=3,

直线l是抛物线的对称轴,点A,D是抛物线与x轴的交点,

AB=BD=3,

AD=6;

在RtADE中,DE2=AD2AE2=6232=27,

(3)当BFED时;

∵∠AED=BFD=90°ADE=BDF,

∴△AED∽△BFD,

当FBAD时,

∵∠AED=FBD=90°ADE=FDB,

∴△AED∽△FBD,

BF的长为

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