Question

【题目】如图，抛物线经过点A（﹣1，0）和B（0，2 ），对称轴为x= ．

（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线与x轴交于另一个交点为C，点D在线段AC上，已知AD=AB，若动点P从A出发沿线段AC以每秒1个单位长度的度数匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从B出发沿线段BC匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线BD垂直平分？若存在，求出点Q的运动速度；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的前提下，过点B的直线l与x轴的负半轴交于点M，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形与△PBC相似？如果存在，请直接写出M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣ ）2+k，（a≠），

把点A（﹣1，0）和B（0，2 ）代入得到 ，

解得 ，

∴y=﹣ （x﹣ ）2+ ，

∴y=﹣ x2+ x+2

（2）

解：令y=0得到﹣ x2+ x+2 =0，解得x= 或﹣1，

∴C（ ，0），A（﹣1，0），AB= =3，

∵AD=AB，

∴AD=3，

∴D（2，0），

∵PB被BD垂直平分，

∴BP=BQ，

∴∠DBP=∠DBQ，

∴ （角平分线的性质定理，可以用面积法证明），

∴ = ，

∴t=2或 ，

∵t＜3，

∴t=2，

∴BP=3，BQ=3，

∴VQ=

（3）

解：存在．理由如下：

由题意P（1，0），PB=3，PC= ，

∵BA=BP=2，

∴∠BAP=∠BPA，

∴∠BPC=∠BAM，

①当 ，△MAB∽△BPC，

∴ = ，

∴AM= ，OM=OA+AM=

∴M（﹣ ，0）．

②当 时，△MAB∽CPB，

∴ = ，

∴AM= ，OM=AM+OA= ，

∴M（﹣ ，0）．

【解析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣ ）2+k，（a≠），把点A（﹣1，0）和B（0，2 ）代入，解方程组即可解决问题．（2）首先求出A、C坐标，由∠DBP=∠DBQ，可得 （角平分线的性质定理，可以用面积法证明），即 = ，解方程即可解决问题．（3）存在．理由如下：首先证明∠BPC=∠BAM，分两种情形讨论①当 ，△MAB∽△BPC，列出方程解方程即可．②当 时，△MAB∽CPB，列出方程解方程即可．
【考点精析】关于本题考查的相似三角形的应用，需要了解测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解才能得出正确答案．