Question

如图，AD是∠CAB的角平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O．
请问：（1）DO是∠EDF的角平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
（2）若将结论与AD是∠CAB的角平分线、DE∥AB、DF∥AC中的任一条件交换，所得命题正确吗？

Answer 1

（1）DO是∠EDF的角平分线，
证明：∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∵AD是∠CAB的角平分线，
∴∠EAD=∠FAD，
∵DE∥AB，
∴∠EDA=∠FAD，
∴∠EAD=EDA，
∴AE=DE，
∴平行四边形AFDE是菱形，
∴DO是∠EDF的角平分线．

（2）解：正确．
①如和AD是∠CAB的角平分线交换，正确，理由与（1）证明过程相似；
②如和DE∥AB交换，
理由是：∵DF∥AC，
∴∠FDA=∠EAD，
∵AD是∠CAB的角平分线，DO是∠EDF的角平分线，
∴∠EAD=∠FAD，∠EDA=∠FDA，
∴∠EAF=∠EDF，
∵AE∥DF，
∴∠AEF=∠DFE，
∵∠EDF+∠EFD+∠DEF=180°，∠EAF+∠AEF+∠AFE=180°，
∴∠DEF=∠AFE，
∴DE∥AB，正确．
③如和AE∥DF交换，正确理由与②类似．
答：若将结论与AD是∠CAB的角平分线、DE∥AB、DF∥AC中的任一条件交换，所得命题正确．
分析：（1）DE∥AB，DF∥AC得到平行四边形AFDE，因为∠EAD=∠FAD和DE∥AB，推出∠EAD=EDA，得出AE=DE，即可得到答案；
（2）①如和AD是∠CAB的角平分线交换，正确，理由与（1）证明过程相似；②如和DE∥AB交换，根据平行线的性质得到∠FDA=∠EAD，根据AD是∠CAB的角平分线，DO是∠EDF的角平分线，推出∠EAF=∠EDF，由平行线的性质得到∴∠AEF=∠DFE，根据三角形的内角和定理即可求出∠DEF=∠AFE，根据平行线的判定即可推出答案；③如和AE∥DF交换，正确理由与②类似．
点评：本题主要考查了三角形的内角和定理，平行四边形的性质和判定，菱形的判定，平行线的性质和判定，三角形的角平分线等知识点，综合运用性质和判定进行证明是解此题的关键，题型较好，综合性比较强．