Question

如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，
（1）在图1中，分别画出点P到边AC、BC、BA的垂线段PF、PG、PH，这3条线段相等吗？为什么？
（2）在图2中，∠ABC是直角，∠C=60°，其余条件都不变，请你判断并写出PE与PD之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

解：（1）PF=PH=PG，理由如下：
∵AD平分∠BAC，PF⊥AC，PH⊥AB，
∴PF=PH，
∵BE平分∠ABC，PG⊥BC，PH⊥AB，
∴PG=PH，
∴PF=PH=PG；

（2）PE=PD．
证明：∵∠ABC=90°，∠C=60°，
∴∠CAB=30°，
∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠CAD=∠BAD=∠CAB=15°，∠ABE=∠CBE=∠ABC=45°，
过点P作PF⊥AC，PG⊥BC，垂足分别为F、G，
则∠PFE=∠PGD=90°，
∵∠PDG为△ADC的一个外角，
∴∠PDG=∠C+∠CAD=60°+∠CAB=60°+15°=75°，
∵∠PEF是△ABE的一个外角，
∴∠PEF=∠CAB+∠ABE=30°+∠CBA=30°+45°=75°，
∴∠PEF=∠PDG，
∵PF⊥AC，PG⊥BC，
∴∠PFE=∠PGD=90°，
由第一问得：PF=PG，
∴△PFE≌△PGD，
∴PE=PD．
分析：（1）PF、PG与PH，3条线段相等，理由为：因为AD为∠BAC的平分线，PF垂直于AC，PH垂直于AB，根据角平分线定理得到PF=PH，同理BE为∠ABC的平分线，PG垂直于BC，PH垂直于AB，得到PG=PH，等量代换即可得证；
（2）PE=PD，理由为：过P作PF垂直于AC，PG垂直于BC，由∠PDG为△ADC的一个外角，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和，得到∠PDG=∠C+∠CAD，又∠CAB=30°，AD为∠CAB的平分线得到∠CAD=∠CAB，求出∠PDG的度数，同理∠PEF是△ABE的一个外角，即可求出∠PEF的度数，发现两角相等，再由垂直得到一对直角相等，由第一问得到PF=PG，根据“AAS”即可得到三角形PEF与三角形PDG全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证．
点评：此题综合考查了角平分线定理，全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质．遇到角平分线常常经过角平分线上的点作角两边的垂线，得到两垂线段的长相等，此道题的两问都是先实验猜想，再探索证明，其目的是考查学生提出问题，解决问题的能力，这类题是近几年中考试题的热点试题．