题目内容

(2012•张家港市模拟)在平行四边形ABCD中,AB=10,AD=6,AD⊥BD,点M是AB边上的一个动点,ME平分∠DMB,与BD、CD分别交于点E、F.

(1)当AM=DM时,证明四边形AMFD是平行四边形;(如图1)
(2)当DM⊥AB时,则ME:EF的值为
4:3
4:3
;(如图2)
(3)当AM为何值时,△DME∽△DBM?(如图3)
分析:(1)首先利用等边对等角和三角形的外角的性质即可证得∠2=∠3,则AD∥MF,则根据平行四边形的定义即可证得;
(2)首先利用摄影定理求得AM的长,当DM⊥AB时,在直角△ADM中利用勾股定理求得DM的长,则BM即可求得,然后根据△DEF∽△BEM,相似三角形的对应边的比相等即可求解;
(3)当△DME∽△DBM时,易证△EBM是等腰三角形,过E作EH⊥MB于H,则H是BM的中点,根据平行线分线段成比例定理即可求得ED的长,则BH的长度可以求得,进而根据AM=AB-2BH即可求解.
解答:证明:(1)∵AM=DM,
∴∠1=∠2,
又∵ME平分∠DMB,
∴∠3=∠4,
又∵∠DMB=∠1+∠2,
∴∠2=∠3,
∴AD∥MF,
又∵AM∥FD,
∴四边形AMFD是平行四边形;
(2)∵在直角△ADM中,DM⊥AB,
∴AD2=AB•AM,
∴AM=
AD2
AB
=
36
10
=3.6cm,
∴MB=AB-AM=10-3.6=6.4cm,
∴DM=
AD2-AM2
=
62-3.62
=4.8cm,
∵ME平分∠DMB,即∠DME=∠BME,
又∵AB∥CD,
∴∠BME=∠DFM
∴∠DME=∠DFM
∴DF=DM=4.8cm,
∵AB∥CD,
∴△DEF∽△BEM,
∴ME:EF=MB:DF=6.4:4.8=4:3;
故答案是:4:3.
(3)∵△DME∽△DBM
DM
DB
=
ME
BM
=
ED
MD
,且∠3=∠5,
又∠3=∠4,
∴∠4=∠5,
∴EM=EB,过E作EH⊥MB于H,则H为MB的中点,
ME
BM
=
EB
BM
=
EB
2BH

EB
BH
=
AB
BD
=
5
4

ME
BM
=
5
8

∵DB=8,
DM
8
=
5
8
,则DM=5,
把DM=5代入
DM
DB
=
ED
MD
得:
5
8
=
ED
5

∴ED=
25
8

∴EB=8-
25
8
=
39
8

∴BH=EB•cosB=
39
8
×
4
5
=
39
10

∴AM=AB-2BH=10-2×
39
10
=
11
5
点评:本题考查了平行四边形的性质,相似三角形的判定与性质,正确求得DM的长度是关键.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网