题目内容
【题目】如图,已知直线y=﹣2x+8与x轴、y轴分别交于点A、C,以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC.
(1)求点A、C的坐标;
(2)将△ABC对折,使得点A的与点C重合,折痕交AB于点D,求直线CD的解析式;
(3)在(2)的条件下,坐标平面内是否存在点P(除点B外),使得△APC与△ABC全等?若存在,直接写出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)A(4,0),C(0,8);(2)y=﹣x+8;(3)满足条件的点P有三个,分别为:(0,0),(
,
),(﹣
,
).
【解析】
试题分析:(1)已知直线y=﹣2x+8与x轴、y轴分别交于点A、C,即可求得A和C的坐标;
(2)根据题意可知△ACD是等腰三角形,算出AD长即可求得D点坐标,最后即可求出CD的解析式;
(3)将点P在不同象限进行分类,根据全等三角形的判定方法找出所有全等三角形,找出符合题意的点P的坐标.
解:(1)令y=0,则﹣2x+8=0,解得x=4,
∴A(4,0),
令x=0,则y=8,
∴C(0,8);
(2)由折叠可知:CD=AD,
设AD=x,则CD=x,BD=8﹣x,
由题意得,(8﹣x)2+42=x2,
解得x=5,
此时AD=5,
∴D(4,5),
设直线CD为y=kx+8,
把D(4,5)代入得5=4k+8,解得k=﹣,
∴直线CD的解析式为y=﹣x+8;
(3)①当点P与点O重合时,△APC≌△CBA,此时P(0,0)
②当点P在第一象限时,如图1,
由△APC≌△CBA得∠ACP=∠CAB,
则点P在直线CD上.过P作PQ⊥AD于点Q,
在Rt△ADP中,
AD=5,AP=BC=4,PD=BD=8﹣5=3,
由AD×PQ=DP×AP得:5PQ=3×4,
∴PQ=,
∴xP=4+=
,把x=
代入y=﹣
x+8得y=
,
此时P(,
)
③当点P在第二象限时,如图2,
同理可求得:PQ=,
在RT△PCQ中,CQ==
=
,
∴OQ=8﹣=
,
此时P(﹣,
),
综上,满足条件的点P有三个,分别为:(0,0),(,
),(﹣
,
).
